题目
一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为 1000 元,要求的估计误差在 200 元以内,置信水平为 99%。应选取多大的样本
一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款
额。他假设所有顾客月存款额的标准差为 1000 元,要求的估计误差
在 200 元以内,置信水平为 99%。应选取多大的样本
题目解答
答案
解: 已知 1-α= 99%,则 。E = 200,σ= 1000 元。
则N = ( 2×σ2)÷ E2= (× 10002)÷ 2002≈ 167
(得数应该是,不管小数后是多少,都向上进位取整,因此至少是
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167人)
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解析
步骤 1：确定置信水平和误差范围
置信水平为 99%，即 1 - α = 0.99，因此 α = 0.01。要求的估计误差在 200 元以内，即 E = 200 元。标准差 σ = 1000 元。
步骤 2：计算样本量
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。样本量的计算公式为：
\[ N = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \]
其中，\( Z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的分位数，对应于置信水平 99% 的 \( Z_{0.005} \)。查标准正态分布表，得到 \( Z_{0.005} = 2.576 \)。
步骤 3：代入数值计算
代入已知数值，计算样本量：
\[ N = \left( \frac{2.576 \cdot 1000}{200} \right)^2 = \left( \frac{2576}{200} \right)^2 = (12.88)^2 = 165.8944 \]
步骤 4：向上取整
由于样本量必须是整数，且为了确保误差范围在 200 元以内，需要向上取整。因此，样本量 N = 166。
置信水平为 99%，即 1 - α = 0.99，因此 α = 0.01。要求的估计误差在 200 元以内，即 E = 200 元。标准差 σ = 1000 元。
步骤 2：计算样本量
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。样本量的计算公式为：
\[ N = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \]
其中，\( Z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的分位数，对应于置信水平 99% 的 \( Z_{0.005} \)。查标准正态分布表，得到 \( Z_{0.005} = 2.576 \)。
步骤 3：代入数值计算
代入已知数值，计算样本量：
\[ N = \left( \frac{2.576 \cdot 1000}{200} \right)^2 = \left( \frac{2576}{200} \right)^2 = (12.88)^2 = 165.8944 \]
步骤 4：向上取整
由于样本量必须是整数，且为了确保误差范围在 200 元以内，需要向上取整。因此，样本量 N = 166。