6.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2) ,其中μ未知,X1,X 2,X3,X4为来自总体X的一个样本,则-|||-以下关于μ的4个无偏估计量中,哪一个最有效?-|||-(hat {mu )}_(1)=dfrac (1)(4)((X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3)+(X)_(4)) , (hat {mu )}_(2)=dfrac (1)(5)(X)_(1)+dfrac (1)(5)(X)_(2)+dfrac (1)(5)(X)_(3)+dfrac (2)(5)(X)_(4) ,-|||-.(hat {mu )}_(3)=dfrac (1)(6)(X)_(1)+dfrac (2)(6)(X)_(2)+dfrac (2)(6)(X)_(3)+dfrac (1)(6)(X)_(4) , (hat {mu )}_(4)=dfrac (1)(7)(X)_(1)+dfrac (2)(7)(X)_(2)+dfrac (3)(7)(X)_(3)+dfrac (1)(7)(X)_(4) .
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计的有效性比较，涉及方差计算和最优线性无偏估计的概念。
解题核心思路：
- 无偏性已满足，只需比较各估计量的方差大小，方差最小者最有效。
- 对于正态总体，线性组合的方差为权重平方和乘以$\sigma^2$，即$\text{Var}(\hat{\mu}) = \sigma^2 \sum w_i^2$（权重$w_i$满足$\sum w_i = 1$）。
- 关键点：计算每个估计量的权重平方和，数值最小的对应方差最小，即最有效。
计算各估计量的权重平方和
$\hat{\mu}_1$
权重均为$\frac{1}{4}$，平方和为：
$\sum \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times 4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$
$\hat{\mu}_2$
权重为$\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}$，平方和为：
$3 \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{3}{25} + \frac{4}{25} = \frac{7}{25}$
$\hat{\mu}_3$
权重为$\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}$，平方和为：
$2 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 + 2 \times \left(\frac{2}{6}\right)^2 = \frac{2}{36} + \frac{8}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$
$\hat{\mu}_4$
权重为$\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{1}{7}$，平方和为：
$\left(\frac{1}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 1}{49} = \frac{15}{49}$
比较结果
- $\hat{\mu}_1$的平方和最小（$\frac{1}{4} = 0.25$），因此其方差最小，最有效。