题目
记Sn为正项数列(an)的前n项和，已知4(S)_(n)=(a)_(n)^2+2(a)_(n)-3．（1）求数列(an)的通项公式；（2）若数列(bn)满足b1=1，(b)_(n+1)=((a)_(n))/((a)_{n+2)}(b)_(n)，求证：(b)_(1)+(b)_(2)+(b)_(3)+⋯+(b)_(n)＜(5)/(2)．
记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-3$．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，${b}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}{b}_{n}$，求证：${b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+⋯+{b}_{n}＜\frac{5}{2}$．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，${b}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}{b}_{n}$，求证：${b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+⋯+{b}_{n}＜\frac{5}{2}$．
题目解答
答案
（1）当n=1时，可得a1=3，
当n≥2时，$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}-3$，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-3$．
作差可得（an-an-1-2）（an+an-1）=0，
因为是正项数列，所以an-an-1=2，即数列{an}为等差数列，
所以an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由题可得$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+2}}$，
所以$\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n+1}}•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n}}•\frac{{a}_{n-3}}{{a}_{n-1}}•⋯•\frac{{a}_{2}}{{a}_{4}}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{15}{（2n+1）（2n+3）}$，又b1=1，
所以${b}_{n}=\frac{15}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{15}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
又b1=1也满足上式，
所以，${b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+⋯+{b}_{n}=\frac{15}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+⋯+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{15}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{5}{2}-\frac{15}{2（2n+3）}＜\frac{5}{2}$
当n≥2时，$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}-3$，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-3$．
作差可得（an-an-1-2）（an+an-1）=0，
因为是正项数列，所以an-an-1=2，即数列{an}为等差数列，
所以an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由题可得$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+2}}$，
所以$\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n+1}}•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n}}•\frac{{a}_{n-3}}{{a}_{n-1}}•⋯•\frac{{a}_{2}}{{a}_{4}}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{15}{（2n+1）（2n+3）}$，又b1=1，
所以${b}_{n}=\frac{15}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{15}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
又b1=1也满足上式，
所以，${b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+⋯+{b}_{n}=\frac{15}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+⋯+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{15}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{5}{2}-\frac{15}{2（2n+3）}＜\frac{5}{2}$