例23 已知函数 =ln sqrt (dfrac {1-x)(1+{x)^2}}, 求y"(0).

本题考查复合函数求导以及导数的计算。解题思路是先对原函数进行化简变形，然后根据求导公式分别求出一阶导数和二阶导数，最后将$x = 0$代入二阶导数表达式中计算出$y''(0)$的值。

1. 化简原函数：
   已知函数$y = \ln\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x^2}}$，根据对数的运算法则$\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$，可将函数变形为$y = \dfrac{1}{2}\ln(1 - x) - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$。
2. 求一阶导数$y'$：
   根据求导公式$(\ln u)^\prime=\dfrac{u^\prime}{u}$，对$y = \dfrac{1}{2}\ln(1 - x) - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$求导。
   • 对于$\dfrac{1}{2}\ln(1 - x)$，令$u = 1 - x$，则$u^\prime = -1$，所以$(\dfrac{1}{2}\ln(1 - x))^\prime=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{1 - x}$。
   • 对于$-\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$，令$v = 1 + x^2$，则$v^\prime = 2x$，所以$(-\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2))^\prime=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{1 + x^2}=-\dfrac{x}{1 + x^2}$。
     因此，$y^\prime = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{1 - x} - \dfrac{x}{1 + x^2}$。
3. 求二阶导数$y''$：
   • 对$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{1 - x}$求导，令$u = 1 - x$，则$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{1 - x}=-\dfrac{1}{2u}$，根据复合函数求导公式$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，先对$-\dfrac{1}{2u}$关于$u$求导得$\dfrac{1}{2u^2}$，再乘以$u^\prime = -1$，得到$(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{1 - x})^\prime=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{(1 - x)^2}$。
   • 对$-\dfrac{x}{1 + x^2}$求导，根据除法求导公式$(\dfrac{u}{v})^\prime=\dfrac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = -x$，$u^\prime = -1$，$v = 1 + x^2$，$v^\prime = 2x$，则$(-\dfrac{x}{1 + x^2})^\prime=-\dfrac{-1\cdot(1 + x^2) - x\cdot2x}{(1 + x^2)^2}=-\dfrac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}=-\dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$。
     所以$y'' = -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{(1 - x)^2} - \dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$。
4. 计算$y''(0)$：
   将$x = 0$代入$y''$的表达式中，可得$y''(0)=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{(1 - 0)^2} - \dfrac{1 - 0^2}{(1 + 0^2)^2}=-\dfrac{1}{2} - 1=-\dfrac{3}{2}$。