题目
三 计算题（共1题，总分值10分）31. 一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100小时的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格。(Z_(0.05)=-1.645)（10分）
三 计算题（共1题，总分值10分）
31. 一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100小时的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格。($Z_{0.05}=-1.645$)（10分）
题目解答
答案
设元件寿命 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma = 100$，$n = 25$，$\bar{X} = 950$，$\alpha = 0.05$。
检验假设：
\[ H_0: \mu \geq 1000 \quad \text{（元件合格）} \]
\[ H_1: \mu < 1000 \quad \text{（元件不合格）} \]
计算检验统计量：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{950 - 1000}{100 / 5} = -2.5 \]
确定临界值：
\[ Z_{0.05} = -1.645 \]
比较统计量与临界值：
\[ Z = -2.5 < -1.645 \]
结论：拒绝 $H_0$，接受 $H_1$，认为元件平均寿命低于1000小时，**这批产品不合格**。
\[
\boxed{\text{认为这批产品不合格}}
\]
解析
步骤 1：定义假设
设元件寿命 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma = 100$，$n = 25$，$\bar{X} = 950$，$\alpha = 0.05$。 检验假设： \[ H_0: \mu \geq 1000 \quad \text{（元件合格）} \] \[ H_1: \mu < 1000 \quad \text{（元件不合格）} \]
步骤 2：计算检验统计量
计算检验统计量： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{950 - 1000}{100 / 5} = -2.5 \]
步骤 3：确定临界值
确定临界值： \[ Z_{0.05} = -1.645 \]
步骤 4：比较统计量与临界值
比较统计量与临界值： \[ Z = -2.5 < -1.645 \]
步骤 5：得出结论
结论：拒绝 $H_0$，接受 $H_1$，认为元件平均寿命低于1000小时，**这批产品不合格**。
设元件寿命 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma = 100$，$n = 25$，$\bar{X} = 950$，$\alpha = 0.05$。 检验假设： \[ H_0: \mu \geq 1000 \quad \text{（元件合格）} \] \[ H_1: \mu < 1000 \quad \text{（元件不合格）} \]
步骤 2：计算检验统计量
计算检验统计量： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{950 - 1000}{100 / 5} = -2.5 \]
步骤 3：确定临界值
确定临界值： \[ Z_{0.05} = -1.645 \]
步骤 4：比较统计量与临界值
比较统计量与临界值： \[ Z = -2.5 < -1.645 \]
步骤 5：得出结论
结论：拒绝 $H_0$，接受 $H_1$，认为元件平均寿命低于1000小时，**这批产品不合格**。