【例2】int x^2cos 2xdx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理多项式函数与三角函数乘积的积分问题。

解题核心思路：
当积分形式为多项式函数（如$x^2$）与三角函数（如$\cos 2x$）的乘积时，优先选择分部积分法。通过两次分部积分，逐步降低多项式的次数，最终将积分转化为可直接计算的形式。

破题关键点：

1. 第一次分部积分：设$u = x^2$，$dv = \cos 2x \, dx$，使积分中的$x^2$降次为$x$。
2. 第二次分部积分：对剩余的$\int x \sin 2x \, dx$，再次设$u = x$，$dv = \sin 2x \, dx$，进一步消除多项式部分。
3. 符号与系数处理：注意积分过程中三角函数的符号变化及系数计算，避免代数错误。

第一次分部积分

设$u = x^2$，则$du = 2x \, dx$；
设$dv = \cos 2x \, dx$，则$v = \frac{1}{2} \sin 2x$。
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x^2 \cos 2x \, dx &= uv - \int v \, du \\&= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 2x \, dx \\&= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x \, dx.\end{aligned}$

第二次分部积分

对$\int x \sin 2x \, dx$，设$u = x$，则$du = dx$；
设$dv = \sin 2x \, dx$，则$v = -\frac{1}{2} \cos 2x$。
再次应用分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x \sin 2x \, dx &= uv - \int v \, du \\&= -\frac{1}{2} x \cos 2x + \int \frac{1}{2} \cos 2x \, dx \\&= -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x.\end{aligned}$

合并结果

将第二次分部积分的结果代入第一次的结果中：
$\begin{aligned}\int x^2 \cos 2x \, dx &= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \left( -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \right) + C \\&= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x + C.\end{aligned}$