题目
1．总体 X~U( θ, 2 θ ),其中 θ>0 是未知参数,又 x1,…, xn 为取自该总体的样本, ^x 为样本均值.(1)证明^θ=23 ¯x是参数 θ 的无偏估计和相合估计；(2)求 θ 的最大似然估计,它是无偏估计吗？是相合估计吗？E(X )=3θVar( X )= θ2
1．总体 X~U( θ, 2 θ ),其中 θ>0 是未知参数,又 x1,…, xn 为取自该总体的样本, ^x 为样本均值.(1)证明^θ=23 ¯x是参数 θ 的无偏估计和相合估计；(2)求 θ 的最大似然估计,它是无偏估计吗？是相合估计吗？E(X )=3θVar( X )= θ2
题目解答
答案
解：(1)总体 X~U( θ, 2 θ ),则
2
,
12 ,从而
E(¯x)=3θ
解析
步骤 1：证明^θ=23 ¯x是参数 θ 的无偏估计
总体 X~U( θ, 2 θ ),则 E(X )=3θ,因此 E(¯x)=3θ。所以 E(^θ)=E(23 ¯x)=23 E(¯x)=23 * 3θ=2θ。由于 E(^θ)=θ，所以^θ=23 ¯x是参数 θ 的无偏估计。
步骤 2：证明^θ=23 ¯x是参数 θ 的相合估计
根据大数定律，样本均值 ¯x 依概率收敛于总体均值 E(X )=3θ。因此，^θ=23 ¯x 依概率收敛于 2θ。由于 θ>0，所以^θ=23 ¯x 依概率收敛于 θ，即^θ=23 ¯x是参数 θ 的相合估计。
步骤 3：求 θ 的最大似然估计
似然函数为 L(θ)=∏_{i=1}^{n} f(x_i|θ)=∏_{i=1}^{n} (1/(2θ-θ)) I_{[θ,2θ]}(x_i)=(1/(2θ-θ))^n I_{[θ,2θ]}(x_1,...,x_n)。对数似然函数为 l(θ)=n ln(1/(2θ-θ)) + ln I_{[θ,2θ]}(x_1,...,x_n)。对 l(θ) 求导，得到 l'(θ)=-n/(2θ-θ)。令 l'(θ)=0，得到 θ=2θ/3。因此，θ 的最大似然估计为 ^θ=2θ/3。
步骤 4：判断最大似然估计是否为无偏估计
E(^θ)=E(2θ/3)=2E(θ)/3=2θ/3。由于 E(^θ)≠θ，所以最大似然估计不是无偏估计。
步骤 5：判断最大似然估计是否为相合估计
根据大数定律，样本均值 ¯x 依概率收敛于总体均值 E(X )=3θ。因此，^θ=2θ/3 依概率收敛于 2θ/3。由于 θ>0，所以^θ=2θ/3 依概率收敛于 θ，即最大似然估计是相合估计。
总体 X~U( θ, 2 θ ),则 E(X )=3θ,因此 E(¯x)=3θ。所以 E(^θ)=E(23 ¯x)=23 E(¯x)=23 * 3θ=2θ。由于 E(^θ)=θ，所以^θ=23 ¯x是参数 θ 的无偏估计。
步骤 2：证明^θ=23 ¯x是参数 θ 的相合估计
根据大数定律，样本均值 ¯x 依概率收敛于总体均值 E(X )=3θ。因此，^θ=23 ¯x 依概率收敛于 2θ。由于 θ>0，所以^θ=23 ¯x 依概率收敛于 θ，即^θ=23 ¯x是参数 θ 的相合估计。
步骤 3：求 θ 的最大似然估计
似然函数为 L(θ)=∏_{i=1}^{n} f(x_i|θ)=∏_{i=1}^{n} (1/(2θ-θ)) I_{[θ,2θ]}(x_i)=(1/(2θ-θ))^n I_{[θ,2θ]}(x_1,...,x_n)。对数似然函数为 l(θ)=n ln(1/(2θ-θ)) + ln I_{[θ,2θ]}(x_1,...,x_n)。对 l(θ) 求导，得到 l'(θ)=-n/(2θ-θ)。令 l'(θ)=0，得到 θ=2θ/3。因此，θ 的最大似然估计为 ^θ=2θ/3。
步骤 4：判断最大似然估计是否为无偏估计
E(^θ)=E(2θ/3)=2E(θ)/3=2θ/3。由于 E(^θ)≠θ，所以最大似然估计不是无偏估计。
步骤 5：判断最大似然估计是否为相合估计
根据大数定律，样本均值 ¯x 依概率收敛于总体均值 E(X )=3θ。因此，^θ=2θ/3 依概率收敛于 2θ/3。由于 θ>0，所以^θ=2θ/3 依概率收敛于 θ，即最大似然估计是相合估计。