题目
三、例题讲解例3：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=}cosx,&0le xle (pi)/(2),0,&其他.求随机变量Y=X^2的方差D(Y).
三、例题讲解
例3：设连续型随机变量X的概率密度为
$f(x)=\begin{cases}cosx,&0\le x\le \frac{\pi}{2},\\0,&其他.\end{cases}$
求随机变量$Y=X^{2}$的方差D(Y).
题目解答
答案
计算随机变量 $Y = X^2$ 的方差 $D(Y)$，其中 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \cos x$（$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$）。
1. **计算 $E(Y) = E(X^2)$**：
$$
E(X^2) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx = \frac{\pi^2}{4} - 2
$$
2. **计算 $E(Y^2) = E(X^4)$**：
$$
E(X^4) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^4 \cos x \, dx = \frac{\pi^4}{16} - 3\pi^2 + 24
$$
3. **计算方差 $D(Y)$**：
$$
D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 20 - 2\pi^2
$$
**答案**：
$$
\boxed{20 - 2\pi^2}
$$