题目
中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表． 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码xi 1 2 3 4 5 百分比yi 78 79.3 82 87 87.5 并计算得：sum_(i=1)^5(y_i^2)=34321.74，sum_(i=1)^5({x_i)}(y_i)=1268.1．（1）求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（x=6）的空气质量优良天数的百分比；（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年（x=10）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：hat(b)=((sum_{i=1)^n(（{{x_i)-overline(x)}）}（({y_i)-overline(y)}）})/((sum_{i=1)^n{{{（{x_i)-overline(x)）}^2}}}}，hat(a)=overline(y)-hat(b)overline(x)）附：相关系数r=((sum_{i=1)^n(（{{x_i)-overline(x)}）}（({y_i)-overline(y)}）})/((sqrt(sum_{i=1)^n{{{（{{x_i)-overline{x)}）}^2}}sum_(i=1)^n({{（{{y_i)-overline(y)}）}^2}}}}}，82.762≈6849.22，sqrt(756.4)≈27.5．
中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
并计算得：$\sum_{i=1}^5{y_i^2}=34321.74$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}}{y_i}=1268.1$．
（1）求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（x=6）的空气质量优良天数的百分比；
（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年（x=10）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline{x}）}^2}}}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$）
附：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline{y}}）}^2}}}}}$，82.762≈6849.22，$\sqrt{756.4}≈27.5$．
| 年份 | 2017年 | 2018年 | 2019年 | 2020年 | 2021年 |
| 年份代码xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 百分比yi | 78 | 79.3 | 82 | 87 | 87.5 |
（1）求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（x=6）的空气质量优良天数的百分比；
（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年（x=10）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline{x}）}^2}}}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$）
附：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline{y}}）}^2}}}}}$，82.762≈6849.22，$\sqrt{756.4}≈27.5$．
题目解答
答案
解：（1）根据表中数据可得：
$\bar{x}=\frac{{1+2+3+4+5}}{5}=3$，$\bar{y}=\frac{{78+79.3+82+87+87.5}}{5}=82.76$，
∴$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）=\sum_{i=1}^5{（{{x_i}{y_i}-\bar{x}{y_i}-{x_i}\bar{y}+\bar{x}\bar{y}}）}$
=$\sum_{i=1}^5{{x_i}}{y_i}-\bar{x}\sum_{i=1}^5{{y_i}}-\bar{y}\sum_{i=1}^5{{x_i}}+5\bar{x}\bar{y}$
=$\sum_{i=1}^5{{x_i}}{y_i}-5\bar{x}⋅\bar{y}$=1268.1-5×3×82.76=26.7，
又$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=1+4+9+16+25=55$，
∴$\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\bar{x}}）}^2}}=\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5{\bar{x}^2}=10$．
又$\sum_{i=1}^5{{{（{{y_i}-\bar{y}}）}^2}}=\sum_{i=1}^5{y_i^2}-5{\bar{y}^2}≈34321.74-5×6849.22=75.64$，
∴$r=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\bar{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^5{{{（{{y_i}-\bar{y}}）}^2}}}}}$$≈\frac{{26.7}}{{\sqrt{756.4}}}≈\frac{{26.7}}{{27.5}}≈0.97$；
（2）由（1）知，y与x的相关系数r≈0.97接近1，
∴y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
∵$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar{x}）}^2}}}}=\frac{{26.7}}{{10}}=2.67$，$\hat{a}=82.76-2.67×3=74.75$，
故回归直线方程为$\hat{y}=2.67x+74.75$，
当x=6时，$\hat{y}=2.67×6+74.75=90.77$，
故2022年的空气质量优良天数的百分比为90.77%；
（3）由（2）知，当x=10时，$\hat{y}=2.67×10+74.75=101.45＞100$，显然不合常理．
其原因如下：
根据该组数据的相关系r≈0.97，是可以推断2017年—2021年间y与x两个变量正线性相关，
且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据．
但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，
空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，
故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．
$\bar{x}=\frac{{1+2+3+4+5}}{5}=3$，$\bar{y}=\frac{{78+79.3+82+87+87.5}}{5}=82.76$，
∴$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）=\sum_{i=1}^5{（{{x_i}{y_i}-\bar{x}{y_i}-{x_i}\bar{y}+\bar{x}\bar{y}}）}$
=$\sum_{i=1}^5{{x_i}}{y_i}-\bar{x}\sum_{i=1}^5{{y_i}}-\bar{y}\sum_{i=1}^5{{x_i}}+5\bar{x}\bar{y}$
=$\sum_{i=1}^5{{x_i}}{y_i}-5\bar{x}⋅\bar{y}$=1268.1-5×3×82.76=26.7，
又$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=1+4+9+16+25=55$，
∴$\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\bar{x}}）}^2}}=\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5{\bar{x}^2}=10$．
又$\sum_{i=1}^5{{{（{{y_i}-\bar{y}}）}^2}}=\sum_{i=1}^5{y_i^2}-5{\bar{y}^2}≈34321.74-5×6849.22=75.64$，
∴$r=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\bar{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^5{{{（{{y_i}-\bar{y}}）}^2}}}}}$$≈\frac{{26.7}}{{\sqrt{756.4}}}≈\frac{{26.7}}{{27.5}}≈0.97$；
（2）由（1）知，y与x的相关系数r≈0.97接近1，
∴y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
∵$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\bar{x}}）}（{{y_i}-\bar{y}}）}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar{x}）}^2}}}}=\frac{{26.7}}{{10}}=2.67$，$\hat{a}=82.76-2.67×3=74.75$，
故回归直线方程为$\hat{y}=2.67x+74.75$，
当x=6时，$\hat{y}=2.67×6+74.75=90.77$，
故2022年的空气质量优良天数的百分比为90.77%；
（3）由（2）知，当x=10时，$\hat{y}=2.67×10+74.75=101.45＞100$，显然不合常理．
其原因如下：
根据该组数据的相关系r≈0.97，是可以推断2017年—2021年间y与x两个变量正线性相关，
且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据．
但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，
空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，
故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．