当 x arrow 0 时, ln(1+x^2) 是 1-cos x 的 ( )A. 低阶无穷小B. 高阶无穷小C. 同阶但不等价无穷小D. 等价无穷小

考查要点：本题主要考查无穷小阶数的比较，需要掌握常见函数的泰勒展开式及等价无穷小替换规则。

解题核心思路：

1. 展开比较主部：分别对 $\ln(1+x^2)$ 和 $1-\cos x$ 进行泰勒展开，找到它们的主部（即最高阶无穷小项）。
2. 判断阶数关系：通过主部的阶数判断两者的无穷小阶数关系（同阶、高阶、低阶）。
3. 验证等价性：若阶数相同，进一步计算两者的比值极限是否为1，以判断是否为等价无穷小。

破题关键点：

• 正确展开泰勒多项式：$\ln(1+u) \sim u$（当 $u \to 0$）和 $\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$（当 $x \to 0$）。
• 主部提取：$\ln(1+x^2)$ 的主部为 $x^2$，$1-\cos x$ 的主部为 $\frac{x^2}{2}$。
• 极限计算：通过比值极限判断阶数关系和等价性。

第一步：展开 $\ln(1+x^2)$

当 $x \to 0$ 时，令 $u = x^2$，则 $\ln(1+u) \sim u$，因此：
$\ln(1+x^2) \sim x^2 \quad (x \to 0)$

第二步：展开 $1-\cos x$

根据泰勒展开：
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \quad \Rightarrow \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)$

第三步：比较阶数

• $\ln(1+x^2)$ 的主部为 $x^2$，阶数为 $x^2$。
• $1-\cos x$ 的主部为 $\frac{x^2}{2}$，阶数也为 $x^2$。
• 同阶无穷小：两者主部阶数相同。

第四步：验证等价性

计算比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = 2 \neq 1$
结论：两者为同阶无穷小，但不是等价无穷小。