题目

已知 y = xe^x，则 y^(8)bigg|_(x=0) = ___

已知 $y = xe^x$，则 $y^{(8)}\bigg|_{x=0} = \_\_\_$

题目解答

答案

将 $ y = xe^x $ 展开为泰勒级数：
$y = x e^x = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$
泰勒级数一般形式为：
$y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n$
比较系数，得 $ x^8 $ 的系数为 $ \frac{y^{(8)}(0)}{8!} = \frac{1}{7!} $，解得：
$y^{(8)}(0) = \frac{8!}{7!} = 8$
答案： $\boxed{8}$

解析

考查要点：本题主要考查泰勒级数展开的应用，以及通过比较系数求高阶导数的方法。

解题核心思路：
将函数 $y = xe^x$ 展开为泰勒级数，利用泰勒级数的一般形式与展开后的表达式对比，找到 $x^8$ 项的系数，从而求出 $y^{(8)}(0)$。

破题关键点：

  1. 泰勒级数展开：利用已知的 $e^x$ 的泰勒展开式，乘以 $x$ 后得到 $xe^x$ 的展开式。
  2. 系数比较：通过泰勒级数中 $x^8$ 项的系数，建立方程求解高阶导数。

  1. 展开 $xe^x$ 的泰勒级数
    已知 $e^x$ 的泰勒展开式为：
    $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
    将其乘以 $x$，得到：
    $xe^x = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!}$
    令 $k = n+1$，则级数可改写为：
    $xe^x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{(k-1)!}$

  2. 比较泰勒级数的系数
    泰勒级数的一般形式为：
    $y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n$
    对比展开式中的 $x^8$ 项：

    • 展开式 $xe^x$ 中，$x^8$ 项的系数为 $\frac{1}{7!}$。
    • 泰勒级数形式中，$x^8$ 项的系数为 $\frac{y^{(8)}(0)}{8!}$。
      因此有：
      $\frac{y^{(8)}(0)}{8!} = \frac{1}{7!}$

  3. 解方程求高阶导数
    两边同乘 $8!$，得：
    $y^{(8)}(0) = \frac{8!}{7!} = 8$