题目
C-|||-M-|||-G-|||->B-|||-A B《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若overrightarrow(AG)=xoverrightarrow(AB)+yoverrightarrow(A{A)_(1)}+zoverrightarrow(AC)，则x+y+z=（ ）A. 1B. (1)/(2)C. (3)/(2)D. (3)/(4)
《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+z$\overrightarrow{AC}$，则x+y+z=（ ）- A. 1
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{3}{2}$
- D. $\frac{3}{4}$
题目解答
答案
解：连接AM，AN，如下图：
由于G是MN的中点，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
根据题意知$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AA_{1}}+z\overrightarrow{AC}$，
所以x+y+z=$\frac{3}{2}$，
故选：C．
由于G是MN的中点，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
根据题意知$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AA_{1}}+z\overrightarrow{AC}$，
所以x+y+z=$\frac{3}{2}$，
故选：C．
解析
步骤 1：确定向量关系
连接AM，AN，由于G是MN的中点，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$。
步骤 2：表示向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$。
步骤 3：计算$\overrightarrow{AG}$
将$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$代入$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$，得到$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。
步骤 4：确定x，y，z的值
根据题意，$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AA_{1}}+z\overrightarrow{AC}$，所以x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$，z=$\frac{1}{4}$。
步骤 5：计算x+y+z
x+y+z=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$。
连接AM，AN，由于G是MN的中点，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$。
步骤 2：表示向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$。
步骤 3：计算$\overrightarrow{AG}$
将$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$代入$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）$，得到$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。
步骤 4：确定x，y，z的值
根据题意，$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AA_{1}}+z\overrightarrow{AC}$，所以x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$，z=$\frac{1}{4}$。
步骤 5：计算x+y+z
x+y+z=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$。