题目
在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中,得到以下的数据:-|||-碳含量x(%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95-|||-20℃时电阻y(μΩ ) 15 18 19 21 22.6 23.8 26-|||-(1)画出散点图.-|||-(2)求线性回归方程 hat (y)=hat (a)+hat (b)x.-|||-(3)求ε的方差c^2的无偏估计.-|||-(4)检验假设 _(0):b=0 _(1):bneq 0.-|||-(5).若回归效果显著,求b的置信水平为0.95的置信区间.-|||-(6)求 x=0.50 处μ(x)的置信水平为0.95的置信区间.-|||-(7)求 x=0.50 处观察值Y的置信水平为0.95的预测区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算相关统计量
首先，我们需要计算一些基本的统计量，包括 $\sum x_i$，$\sum y_i$，$\sum x_i^2$，$\sum y_i^2$，$\sum x_iy_i$，以及样本数量 $n$。这些统计量将用于后续的计算。
步骤 2：计算回归系数
利用最小二乘法，我们可以计算出回归系数 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$。其中，$\hat{b} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$，$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$。这里，$S_{xy} = \sum x_iy_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$，$S_{xx} = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}$。
步骤 3：计算误差方差的无偏估计
误差方差的无偏估计 $\hat{\sigma}^2$ 可以通过 $\hat{\sigma}^2 = \frac{SSE}{n-2}$ 计算，其中 SSE 是残差平方和，$SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$。
步骤 4：检验假设
检验假设 $H_0: b = 0$，$H_1: b \neq 0$，使用 t 检验。t 统计量为 $t = \frac{\hat{b}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2 / S_{xx}}}$，自由度为 $n-2$。如果 $|t| > t_{\alpha/2}(n-2)$，则拒绝原假设。
步骤 5：计算回归系数 b 的置信区间
回归系数 b 的置信区间为 $\hat{b} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 / S_{xx}}$。
步骤 6：计算 $\mu(x)$ 的置信区间
$\mu(x)$ 的置信区间为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 (1/n + (x - \bar{x})^2 / S_{xx})}$。
步骤 7：计算观察值 Y 的预测区间
观察值 Y 的预测区间为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 (1 + 1/n + (x - \bar{x})^2 / S_{xx})}$。
首先，我们需要计算一些基本的统计量，包括 $\sum x_i$，$\sum y_i$，$\sum x_i^2$，$\sum y_i^2$，$\sum x_iy_i$，以及样本数量 $n$。这些统计量将用于后续的计算。
步骤 2：计算回归系数
利用最小二乘法，我们可以计算出回归系数 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$。其中，$\hat{b} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$，$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$。这里，$S_{xy} = \sum x_iy_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$，$S_{xx} = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}$。
步骤 3：计算误差方差的无偏估计
误差方差的无偏估计 $\hat{\sigma}^2$ 可以通过 $\hat{\sigma}^2 = \frac{SSE}{n-2}$ 计算，其中 SSE 是残差平方和，$SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$。
步骤 4：检验假设
检验假设 $H_0: b = 0$，$H_1: b \neq 0$，使用 t 检验。t 统计量为 $t = \frac{\hat{b}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2 / S_{xx}}}$，自由度为 $n-2$。如果 $|t| > t_{\alpha/2}(n-2)$，则拒绝原假设。
步骤 5：计算回归系数 b 的置信区间
回归系数 b 的置信区间为 $\hat{b} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 / S_{xx}}$。
步骤 6：计算 $\mu(x)$ 的置信区间
$\mu(x)$ 的置信区间为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 (1/n + (x - \bar{x})^2 / S_{xx})}$。
步骤 7：计算观察值 Y 的预测区间
观察值 Y 的预测区间为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2}(n-2) \sqrt{\hat{\sigma}^2 (1 + 1/n + (x - \bar{x})^2 / S_{xx})}$。