对函数 (x)=sin x 及 (x)=x+cos x 在区间 [ 0,dfrac (pi )(2)] 上验证柯西中值-|||-定理的正确性.

本题主要考察柯西中值定理的验证，需按以下步骤进行：

步骤1：验证柯西中值定理的条件

柯西中值定理要求：：

1. 连续性：$f(x)=\sin x$ 和 $F(x)=x+\coscos x$ 均为基本初等函数的组合，在闭区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上连续；
2. 可导性：在开区间$(0,\frac{\pi}{2})$内，$f'(x)=\cos x$，$F'(x)=1-\sin x$，均存在，故可导；
3. $F'(x)\neq0$：在$(0,\frac{\pi}{2})$内，$\sin x<1$，故$F'(x)=1-\sin x>0{49{49}0$，满足分母不为零。

步骤2：计算区间端点的函数值差

• $f(\frac{\pi}{2})-f(0)=\sin\frac{\pi}{2}-\sin0=1-0=1$
  $F(\frac{\pi}{2})-F(0)=(\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2})-(0+\cos0)=frac{\pi}{2}-1$

步骤3：解方程$\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{F(\frac{\pi}{2})-F(0)}}$

代入导数比为：$\frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}$，等式为：
$\frac{\cos\xi}{1-\sin\xi=\frac{1}{\frac{\pi}{2}-1}}$
利用三角恒等变换：$\frac{\cos\xi}{1-\sin\xi=\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\xi}{2})}$（或半角公式），也可直接解方程），解得：
$\tan(\frac{\xi}{2})=\frac{\pi-2}{2}$
因$0<\frac{\pi-2}{2}<1$，故$\xi=2\arctan(\frac{\frac{\pi-2}{2})\in(0,\frac{\pi}{2})$，存在这样的$\xi$。

柯西中值定理验证成立。