题目
6.设总体 sim U(0,0) ,总体X的一组样本值是-|||-0.5,0.9,1.3,1.0,0.8-|||-其中 theta gt 0 未知.求θ的极大似然估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定总体分布
给定总体 $X \sim U(0, \theta)$，其中 $\theta > 0$ 未知。这意味着 $X$ 是在区间 $[0, \theta]$ 上的均匀分布。
步骤 2：写出似然函数
设样本值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，则似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta)
$$
其中 $I(0 \leq x_i \leq \theta)$ 是指示函数，当 $0 \leq x_i \leq \theta$ 时取值为1，否则为0。
步骤 3：确定极大似然估计量
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，需要 $\theta$ 尽可能小，但同时要满足所有样本值 $x_i$ 都在区间 $[0, \theta]$ 内。因此，$\theta$ 的极大似然估计量为样本值中的最大值，即：
$$
\hat{\theta} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n)
$$
步骤 4：计算极大似然估计值
给定样本值为 0.5, 0.9, 1.3, 1.0, 0.8，因此极大似然估计值为：
$$
\hat{\theta} = \max(0.5, 0.9, 1.3, 1.0, 0.8) = 1.3
$$
给定总体 $X \sim U(0, \theta)$，其中 $\theta > 0$ 未知。这意味着 $X$ 是在区间 $[0, \theta]$ 上的均匀分布。
步骤 2：写出似然函数
设样本值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，则似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta)
$$
其中 $I(0 \leq x_i \leq \theta)$ 是指示函数，当 $0 \leq x_i \leq \theta$ 时取值为1，否则为0。
步骤 3：确定极大似然估计量
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，需要 $\theta$ 尽可能小，但同时要满足所有样本值 $x_i$ 都在区间 $[0, \theta]$ 内。因此，$\theta$ 的极大似然估计量为样本值中的最大值，即：
$$
\hat{\theta} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n)
$$
步骤 4：计算极大似然估计值
给定样本值为 0.5, 0.9, 1.3, 1.0, 0.8，因此极大似然估计值为：
$$
\hat{\theta} = \max(0.5, 0.9, 1.3, 1.0, 0.8) = 1.3
$$