题目
3.设两随机变量X与Y的方差分别为25和16,相关系数为0.4,则 D(2X+Y)= __-|||-__ ,D(X-2Y)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 D(2X+Y)
根据方差的性质，D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。
已知D(X) = 25，D(Y) = 16，相关系数ρ(X,Y) = 0.4，所以Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * sqrt(D(X)) * sqrt(D(Y)) = 0.4 * sqrt(25) * sqrt(16) = 0.4 * 5 * 4 = 8。
因此，D(2X+Y) = 2^2D(X) + 1^2D(Y) + 2*2*1*Cov(X,Y) = 4*25 + 16 + 2*2*8 = 100 + 16 + 32 = 148。
步骤 2：计算 D(X-2Y)
根据方差的性质，D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。
因此，D(X-2Y) = 1^2D(X) + (-2)^2D(Y) + 2*1*(-2)*Cov(X,Y) = 25 + 4*16 - 2*2*8 = 25 + 64 - 32 = 57。
根据方差的性质，D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。
已知D(X) = 25，D(Y) = 16，相关系数ρ(X,Y) = 0.4，所以Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * sqrt(D(X)) * sqrt(D(Y)) = 0.4 * sqrt(25) * sqrt(16) = 0.4 * 5 * 4 = 8。
因此，D(2X+Y) = 2^2D(X) + 1^2D(Y) + 2*2*1*Cov(X,Y) = 4*25 + 16 + 2*2*8 = 100 + 16 + 32 = 148。
步骤 2：计算 D(X-2Y)
根据方差的性质，D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。
因此，D(X-2Y) = 1^2D(X) + (-2)^2D(Y) + 2*1*(-2)*Cov(X,Y) = 25 + 4*16 - 2*2*8 = 25 + 64 - 32 = 57。