题目

19.讨论函数 f(x)={}xcos(1)/(x) xneq00 x=0.在x=0处的连续性与可导性.

19.讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}x\cos\frac{1}{x} x\neq0\\0 x=0\end{matrix}\right.$在x=0处的连续性与可导性.

题目解答

答案

**连续性分析：** 当 $x \to 0$ 时，$f(x) = x \cos \frac{1}{x}$。由于 $\cos \frac{1}{x}$ 有界（值域为 $[-1, 1]$），且 $x \to 0$，由夹逼定理得 $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0 = f(0), $$ 故函数在 $x = 0$ 处连续。 **可导性分析：** 计算导数定义式 $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}. $$ 因 $\cos \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时无限振荡，极限不存在，故函数在 $x = 0$ 处不可导。 **答案：** 函数在 $x = 0$ 处连续但不可导。

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，涉及极限的计算、夹逼定理的应用以及导数定义的理解。

解题核心思路：

  1. 连续性：验证当$x \to 0$时，函数值的极限是否等于$f(0)$。关键在于处理$\cos \frac{1}{x}$的有界性与$x$趋近于0的乘积关系。
  2. 可导性：通过导数定义计算$f'(0)$，判断极限是否存在。重点分析$\cos \frac{1}{x}$在$x \to 0$时的振荡特性导致极限不存在。

破题关键点：

  • 连续性：利用夹逼定理，结合$\cos \frac{1}{x}$的有界性，证明极限为0。
  • 可导性：通过极限振荡性说明导数不存在。

连续性分析

  1. 计算极限：当$x \to 0$时，$f(x) = x \cos \frac{1}{x}$。
  2. 应用夹逼定理：
    • 由于$\cos \frac{1}{x}$的值域为$[-1, 1]$，即$|\cos \frac{1}{x}| \leq 1$。
    • 因此，$|x \cos \frac{1}{x}| \leq |x|$。
    • 当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$。
  3. 结论：$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$，故函数在$x=0$处连续。

可导性分析

  1. 导数定义：
    $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}.$
  2. 分析极限存在性：
    • 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$\cos \frac{1}{x}$在$[-1, 1]$之间无限振荡。
    • 例如，取$x_k = \frac{1}{2k\pi}$时，$\cos \frac{1}{x_k} = 1$；取$x_k = \frac{1}{\pi + 2k\pi}$时，$\cos \frac{1}{x_k} = -1$。极限值不唯一，故极限不存在。
  3. 结论：导数$f'(0)$不存在，函数在$x=0$处不可导。