由正态总体 N(mu, sigma^2) 抽取容量为 20 的样本，试求 P(10sigma^2 leq sum_(i=1)^20(x_i - mu)^2 leq 30sigma^2).

我们来逐步解决这个概率题目。

题目回顾：

从正态总体 $ N(\mu, \sigma^2) $ 中抽取容量为 20 的样本，记样本为 $ x_1, x_2, \ldots, x_{20} $。

要求计算概率：

$P\left(10\sigma^2 \leq \sum_{i=1}^{20}(x_i - \mu)^2 \leq 30\sigma^2\right)$

解题思路：

我们知道，若总体服从 $ N(\mu, \sigma^2) $，且样本 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 是独立同分布的，则：

$\frac{(x_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$

因此，总和：

$\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n)$

即：

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \mu)^2 \sim \chi^2(20)$

令：

$Q = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \mu)^2 \sim \chi^2(20)$

那么原概率可以改写为：

$P\left(10\sigma^2 \leq \sum_{i=1}^{20}(x_i - \mu)^2 \leq 30\sigma^2\right) = P\left(10 \leq \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{20}(x_i - \mu)^2 \leq 30\right)$

即：

$P(10 \leq Q \leq 30) \quad \text{其中 } Q \sim \chi^2(20)$

查卡方分布表或使用统计软件：

我们需要计算自由度为 20 的卡方分布中，随机变量落在 10 到 30 之间的概率。

即：

$P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) = F(30) - F(10)$

其中 $ F(x) $ 是自由度为 20 的卡方分布的累积分布函数（CDF）。

我们可以通过查表或使用统计软件/计算器来获取这些值。

查表或计算（使用标准卡方分布表或软件）：

使用统计软件或标准卡方分布表（或 Python、R、计算器等），可得：

• $ P(\chi^2(20) \leq 30) \approx 0.908 $
• $ P(\chi^2(20) \leq 10) \approx 0.057 $

> （注：这些值可以通过查卡方分布表或使用函数如 pchisq(30, 20) 和 pchisq(10, 20) 在 R 中得到）

因此：

$P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) = 0.908 - 0.057 = 0.851$

最终答案：

$\boxed{0.851}$

（保留三位小数）

总结解题过程：

1. 利用正态总体的性质：$ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n) $。
2. 将原不等式两边同除以 $ \sigma^2 $，转化为卡方分布的概率问题。
3. 得到自由度为 20 的卡方变量落在 [10, 30] 的概率。
4. 查表或计算累积分布值得出结果。

✅ 答案： $ \boxed{0.851} $