题目
3.设f(z)=int_(c)(3lambda^2+7lambda+1)/(lambda-z)dlambda，其中C=z:|z|=3，试求f^prime(1+i).
3.设$f(z)=\int_{c}\frac{3\lambda^{2}+7\lambda+1}{\lambda-z}d\lambda$，其中$C=\{z:|z|=3\}$，试求$f^{\prime}(1+i)$.
题目解答
答案
由柯西积分公式，当 $ z $ 在圆 $ |z| = 3 $ 内时，
$$
f(z) = 2\pi i (3z^2 + 7z + 1).
$$
对 $ z $ 求导得
$$
f'(z) = 2\pi i (6z + 7).
$$
代入 $ z = 1+i $，
$$
f'(1+i) = 2\pi i [6(1+i) + 7] = 2\pi i (13 + 6i) = -12\pi + 26\pi i.
$$
**答案：**
$$
\boxed{-12\pi + 26\pi i}
$$
解析
考查要点：本题主要考查柯西积分公式的应用以及复变函数的求导。关键在于识别积分形式符合柯西积分公式的条件，并正确应用公式简化积分，再对结果进行求导。
解题思路：
- 识别柯西积分公式的形式：积分路径为闭合曲线$C:|z|=3$，被积函数形如$\frac{g(\lambda)}{\lambda - z}$，其中$g(\lambda)=3\lambda^2+7\lambda+1$在$C$内解析。
- 应用柯西积分公式：直接得出$f(z)=2\pi i \cdot g(z)$。
- 对$f(z)$求导：利用多项式求导规则，得到$f'(z)$。
- 代入$z=1+i$：注意复数运算的准确性。
应用柯西积分公式
根据柯西积分公式，若$g(\lambda)$在闭合路径$C$内解析，则：
$\int_C \frac{g(\lambda)}{\lambda - z} d\lambda = 2\pi i \cdot g(z)$
本题中，$g(\lambda)=3\lambda^2+7\lambda+1$显然在$|z|=3$内解析，因此：
$f(z) = 2\pi i \cdot (3z^2 + 7z + 1)$
对$f(z)$求导
对$f(z)$关于$z$求导：
$f'(z) = 2\pi i \cdot \frac{d}{dz}(3z^2 + 7z + 1) = 2\pi i \cdot (6z + 7)$
代入$z=1+i$
将$z=1+i$代入导数表达式：
$f'(1+i) = 2\pi i \cdot [6(1+i) + 7] = 2\pi i \cdot (13 + 6i)$
展开计算：
$2\pi i \cdot (13 + 6i) = 2\pi (13i + 6i^2) = 2\pi (13i - 6) = -12\pi + 26\pi i$