题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自正态总体 N(mu, 1) 的一个简单随机样本，overline(X), S^2 分别为样本均值与样本方差，则(）A. overline(X) sim N(0, 1)B. sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 sim chi^2(n-1)C. sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2 sim chi^2(n)D. (overline(X))/(S/sqrt(n-1)) sim t(n-1).
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的一个简单随机样本，$\overline{X}, S^2$ 分别为样本均值与样本方差，则(）
A. $\overline{X} \sim N(0, 1)$
B. $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
C. $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n)$
D. $\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n-1}} \sim t(n-1).$
题目解答
答案
B. $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
解析
步骤 1：分析选项A
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时满足 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 为样本方差的分子，除以总体方差（本题为1）后服从 $\chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$ 除以总体方差后服从 $\chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S / \sqrt{n-1}}$ 需满足 $\mu=0$ 才服从 $t(n-1)$，且分母应为 $S / \sqrt{n}$，因此选项D不正确。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时满足 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 为样本方差的分子，除以总体方差（本题为1）后服从 $\chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$ 除以总体方差后服从 $\chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S / \sqrt{n-1}}$ 需满足 $\mu=0$ 才服从 $t(n-1)$，且分母应为 $S / \sqrt{n}$，因此选项D不正确。