33.(判断题) 若n阶矩阵A可逆,则其伴随矩阵 A^* 也可逆.A 对B 错

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及其可逆性的判断，需要结合矩阵可逆的条件和行列式的性质进行推导。

解题核心思路：

1. 利用伴随矩阵与原矩阵的关系式：$A A^{*} = \det(A) I$，通过变形得到$A^{*}$的表达式。
2. 结合行列式的性质：若$A$可逆，则$\det(A) \neq 0$，进一步推导$\det(A^{*}) \neq 0$，从而判断$A^{*}$可逆。

破题关键点：

• 关键公式：$A A^{*} = \det(A) I$，以及$\det(A^{*}) = \det(A)^{n-1}$。
• 逻辑链：通过$A$可逆推出$\det(A) \neq 0$，再结合伴随矩阵的性质证明$A^{*}$可逆。

步骤1：利用伴随矩阵与原矩阵的关系式
已知$A$可逆，故$\det(A) \neq 0$。根据伴随矩阵的定义，有：
$A A^{*} = \det(A) I$
将等式两边同时左乘$A^{-1}$，得：
$A^{-1} A A^{*} = A^{-1} \det(A) I$
化简后得到：
$A^{*} = \det(A) A^{-1}$

步骤2：证明$A^{*}$可逆
由$A^{*} = \det(A) A^{-1}$可知，$A^{*}$是$\det(A)$与$A^{-1}$的乘积。

• $\det(A)$是非零标量，$A^{-1}$存在且可逆，因此$\det(A) A^{-1}$也是可逆的。
• 具体地，可验证$\frac{1}{\det(A)} A$是$A^{*}$的逆矩阵：
  $A^{*} \cdot \frac{1}{\det(A)} A = \det(A) A^{-1} \cdot \frac{1}{\det(A)} A = A^{-1} A = I$

步骤3：行列式角度验证
根据伴随矩阵的行列式性质：
$\det(A^{*}) = \det(A)^{n-1}$
由于$\det(A) \neq 0$，故$\det(A^{*}) \neq 0$，说明$A^{*}$可逆。