题目
•2.5 设有观测向量 X_(31)=[L_(1) L_(2) L_(3)]^T 的协方差阵D_(XX)=[4 & -2 & 0 -2 & 9 & -3 0 & -3 & 16]试写出观测值L1，L2，L3的中误差及其协方差 hat(sigma)_(L1L2)、hat(sigma)_(L1L3) 和 hat(sigma)_(L2L3)。
•2.5 设有观测向量 $X_{31}=\left[L_{1} L_{2} L_{3}\right]^{T}$ 的协方差阵
$D_{XX}=\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & -3 \\ 0 & -3 & 16\end{array}\right]$
试写出观测值L1，L2，L3的中误差及其协方差 $\hat{\sigma}_{L1L2}、\hat{\sigma}_{L1L3}$ 和 $\hat{\sigma}_{L2L3}$。
题目解答
答案
协方差阵 $D_{XX}$ 的对角线元素为各观测值的方差，非对角线元素为协方差。
给定：
\[ D_{XX} = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & -3 \\ 0 & -3 & 16 \end{bmatrix} \]
中误差：
\[ \sigma_{L_1} = \sqrt{4} = 2, \quad \sigma_{L_2} = \sqrt{9} = 3, \quad \sigma_{L_3} = \sqrt{16} = 4 \]
协方差：
\[ \sigma_{L_1L_2} = -2, \quad \sigma_{L_1L_3} = 0, \quad \sigma_{L_2L_3} = -3 \]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\sigma_{L_1} = 2, & \sigma_{L_2} = 3, \\
\sigma_{L_3} = 4, & \sigma_{L_1L_2} = -2, \\
\sigma_{L_1L_3} = 0, & \sigma_{L_2L_3} = -3.
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查对协方差矩阵的理解，包括如何从中提取观测值的方差、协方差以及计算中误差。
解题核心思路：
- 协方差矩阵的结构：协方差矩阵的对角线元素对应各观测值的方差，非对角线元素对应两观测值的协方差。
- 中误差的计算：中误差是方差的平方根，直接通过对角线元素开平方得到。
- 协方差的提取：非对角线元素即为对应观测值的协方差，无需额外计算。
破题关键点：
- 明确协方差矩阵中元素的物理意义。
- 区分方差与协方差的位置关系。
步骤1：提取方差与协方差
协方差矩阵 $D_{XX}$ 的形式为：
$D_{XX} = \begin{bmatrix}\sigma_{L_1}^2 & \sigma_{L_1L_2} & \sigma_{L_1L_3} \\\sigma_{L_1L_2} & \sigma_{L_2}^2 & \sigma_{L_2L_3} \\\sigma_{L_1L_3} & \sigma_{L_2L_3} & \sigma_{L_3}^2\end{bmatrix}$
根据题目给出的矩阵：
$D_{XX} = \begin{bmatrix}4 & -2 & 0 \\-2 & 9 & -3 \\0 & -3 & 16\end{bmatrix}$
- 方差：对角线元素分别为 $\sigma_{L_1}^2=4$，$\sigma_{L_2}^2=9$，$\sigma_{L_3}^2=16$。
- 协方差：非对角线元素分别为 $\sigma_{L_1L_2}=-2$，$\sigma_{L_1L_3}=0$，$\sigma_{L_2L_3}=-3$。
步骤2：计算中误差
中误差是方差的平方根：
- $\sigma_{L_1} = \sqrt{4} = 2$
- $\sigma_{L_2} = \sqrt{9} = 3$
- $\sigma_{L_3} = \sqrt{16} = 4$