题目
1.填空题-|||-(1)设X1,.........,,,,独立,且都服从标准分布N(0,1),则 sum _(i=1)^n(X)_(i) 服从自由-|||-度为 __ 的 __ 分布.-|||-(2)设总体X服从正态分布N(μ,σ^2),X1,X2,···,Nn是来自总体X的样本,则-|||-dfrac (1-1)(6sqrt {n)} 服从 __ 分布; dfrac (X-mu )(sqrt {{S)^2/n}} 服从 __ 分布; dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2} 服从 __ 分布;-|||-sum _(i=1)^n(({X)_(i)-n)}^2 服从 __ 分布.-|||-(3)设X1,X2,···,N _(n)-1 ,..., _(n)+m 是来自正态总体N (0,σ^2)的容量为 n+m-|||-m>X^2-|||-的样本,则统计量 geqslant x ngt 2(x)^2 服从的分布是 __ .-|||-(4)设 sim N(0,1) ,sim (x)^2(n) ,X与Y独立,则随机变量 =dfrac (X)(sqrt {Y/n)} 服从自由度为-|||-__ 的t分布.-|||-(5)设总体 sim P(lambda ) ,X1,X2,···,Nn是X的一个样本,X,S^2分别是样本均值及-|||-样本方差,则 (overline (X))= __ ; ((S)^2)= __-|||-(6) _(0.015)= __ _; _(0.95)= __ _(0.1)(10)= __ ; _(0.025)(25)= __ ;-|||-____;-|||-_(0.025)(50)= __ ; _(0.05)(12,10)= __ ; _(0.95)(14,16)= __ .-|||-(7)设总体X服从正态分布 sim N((mu )_(1),(sigma )^2) ,总体Y服从正态分布N(μ2,σ^2),X1,-|||-X2,···,Nn和,y2,···,Y分别是来自总体样本X和Y的简单随机样本,则-|||-E sum _(min)^n(({x)_(i)-overline (x))}^2+sum _(i=1)^n(({Y)_(i)-Y)}^2}= __-|||-.
题目解答
答案
解析
- 独立正态变量的和与卡方分布：独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，但直接相加服从正态分布。需注意题目可能存在表述问题。
- 中心极限定理与抽样分布：标准化样本均值服从正态分布，样本均值与样本标准差组合服从t分布，样本方差与总体方差关系服从卡方分布。
- F分布的构造：两个独立卡方分布变量的比值构造F分布，需注意自由度。
- t分布的定义：标准正态变量与卡方变量的组合形式。
- 泊松分布的性质：均值与方差相等，样本方差的无偏性。
- 分位数的记忆与查表：需熟悉常见分布的分位数数值。
- 方差的线性组合：结合样本方差的期望计算总和。
(1) $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布
- 关键点：独立标准正态变量之和服从正态分布 $N(0,n)$，但题目答案给出卡方分布，可能存在错误。正确应为正态分布，自由度概念不适用。
(2) 各统计量的分布
- $\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$：标准化样本均值，服从 $N(0,1)$。
- $\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{S^2/n}}$：样本均值与估计标准差组合，服从 $t(n-1)$。
- $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$：样本方差与总体方差的比，服从 $\chi^2(n-1)$。
- $\sum _{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$：标准化正态变量的平方和，服从 $\chi^2(n)$。
(3) 统计量的分布
- 关键点：若统计量为 $\dfrac{m\overline{X}^2}{n\overline{Y}^2}$，则服从 $F(n,m)$，需确认题目表述。
(4) t分布的自由度
- 关键点：分子为标准正态，分母为 $\sqrt{Y/n}$，$Y \sim \chi^2(n)$，故服从 $t(n)$。
(5) 泊松分布的期望
- 关键点：$E(\overline{X}) = \mu = \lambda$，$E(S^2) = \lambda$（无偏性）。
(6) 分位数的数值
- 关键点：记忆或查表，注意单双尾区分（如 $z_{0.015}$ 对应双尾 $0.03$）。
(7) 方差的线性组合
- 关键点：$\sum (X_i-\overline{X})^2 + \sum (Y_i-\overline{Y})^2$ 服从 $(n+m-2)\sigma^2$，期望为 $(n+m-2)\sigma^2$。