题目
设20件产品中有5件不合格品和15件合格品,从中任取2件,已知2件中有一件是不合格品.试求另一件也是不合格品的概率.
设20件产品中有5件不合格品和15件合格品,从中任取2件,已知2件中有一件是不合格品.试求另一件也是不合格品的概率.
题目解答
答案
解：用A表示：抽到的两件都是不合格品，B表示：抽到的两件中至少有1件为不合格品，则所求概率
解析
步骤 1：定义事件
定义事件A：抽到的两件都是不合格品。
定义事件B：抽到的两件中至少有1件为不合格品。
步骤 2：计算P(AB)
由于事件A和事件B的交集就是事件A，即P(AB)=P(A)。根据组合数的定义，从5件不合格品中抽取2件的组合数为${C}_{5}^{2}$，从20件产品中抽取2件的组合数为${C}_{20}^{2}$。因此，$P(AB)=P(A)=\dfrac {{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$。
步骤 3：计算P(B)
事件B包括两种情况：抽到的两件都是不合格品，或者抽到的两件中有一件是不合格品，另一件是合格品。因此，$P(B)=\dfrac {{C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$。
步骤 4：计算条件概率P(A|B)
根据条件概率的定义，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到$P(A|B)=\dfrac {{C}_{5}^{2}}{{C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}$。
步骤 5：计算组合数
计算${C}_{5}^{2}=\dfrac {5!}{2!(5-2)!}=10$，${C}_{20}^{2}=\dfrac {20!}{2!(20-2)!}=190$，${C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}=5\times15=75$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤5的结果代入步骤4的公式，得到$P(A|B)=\dfrac {10}{10+75}=\dfrac {10}{85}=\dfrac {2}{17}$。
定义事件A：抽到的两件都是不合格品。
定义事件B：抽到的两件中至少有1件为不合格品。
步骤 2：计算P(AB)
由于事件A和事件B的交集就是事件A，即P(AB)=P(A)。根据组合数的定义，从5件不合格品中抽取2件的组合数为${C}_{5}^{2}$，从20件产品中抽取2件的组合数为${C}_{20}^{2}$。因此，$P(AB)=P(A)=\dfrac {{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$。
步骤 3：计算P(B)
事件B包括两种情况：抽到的两件都是不合格品，或者抽到的两件中有一件是不合格品，另一件是合格品。因此，$P(B)=\dfrac {{C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$。
步骤 4：计算条件概率P(A|B)
根据条件概率的定义，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到$P(A|B)=\dfrac {{C}_{5}^{2}}{{C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}$。
步骤 5：计算组合数
计算${C}_{5}^{2}=\dfrac {5!}{2!(5-2)!}=10$，${C}_{20}^{2}=\dfrac {20!}{2!(20-2)!}=190$，${C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}=5\times15=75$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤5的结果代入步骤4的公式，得到$P(A|B)=\dfrac {10}{10+75}=\dfrac {10}{85}=\dfrac {2}{17}$。