题目
12.4 试证:平行板电容器的位移电流可写成 _(d)=Cdfrac (dU)(dt). 式中C为电容器的电容,U是-|||-电容器两极板的电势差.如果不是平板电容器,以上关系还适用吗?
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查对位移电流概念的理解，以及如何结合电容器的基本性质进行推导。关键在于理解电位移通量与电容器电荷量的关系，并掌握微分形式的应用。
解题核心思路：
- 位移电流的定义：位移电流密度 $J_d = \frac{\partial D}{\partial t}$，位移电流 $I_d = \int J_d \cdot dA = \frac{d\Phi_D}{dt}$，其中 $\Phi_D$ 是电位移通量。
- 平行板电容器的特性：电位移场 $D$ 在电容器内部均匀，且 $D = \sigma_0$（$\sigma_0$ 为自由电荷面密度）。
- 电容的定义：$C = \frac{Q}{U}$，结合 $Q = C U$ 推导 $\Phi_D$。
- 推广到非平板电容器：关键在于 $\Phi_D = Q$ 是否成立，而电容 $C$ 的定义 $Q = C U$ 仍适用。
破题关键点：
- 明确电位移通量与电荷的关系：$\Phi_D = Q = C U$。
- 区分电容器形状对推导的影响：虽然 $D$ 的分布可能不同，但 $\Phi_D = Q$ 对任何电容器均成立。
步骤1：推导平行板电容器的位移电流
-
电位移场与电荷的关系
平行板电容器中，电位移场 $D$ 的大小为 $D = \sigma_0$，其中 $\sigma_0 = \frac{Q}{S}$（$S$ 为极板面积）。
结合电容定义 $Q = C U$，得：
$D = \frac{C U}{S}.$ -
计算位移电流
位移电流 $I_d = \frac{d\Phi_D}{dt}$，其中 $\Phi_D = D \cdot S$。代入 $D$ 的表达式：
$\Phi_D = \frac{C U}{S} \cdot S = C U.$
因此：
$I_d = \frac{d}{dt}(C U) = C \frac{dU}{dt}.$
步骤2：分析非平板电容器的适用性
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电位移通量的普遍性
对于任意电容器，电位移通量 $\Phi_D$ 始终等于极板上的自由电荷量 $Q$（由高斯定理）。
电容定义 $Q = C U$ 仍成立，因此：
$\Phi_D = C U.$ -
位移电流的通用表达式
无论电容器形状如何，位移电流均为：
$I_d = \frac{d\Phi_D}{dt} = C \frac{dU}{dt}.$
结论：关系式 $I_d = C \frac{dU}{dt}$ 对任何电容器均适用。