15.设随机变量X的分布函数为 (x)=在(dfrac (x-1)(2)), 其中ϕ(x)是标准正态分布N(0,1)的分-|||-布函数,则X服从的分布为-|||-(A) (-1,2); (B)N(1,2);-|||-(C) N(-1,4) ; (D)N(1,4). [ ]

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，以及如何通过分布函数的形式确定随机变量的参数。

解题核心思路：
标准正态分布函数Φ(x)对应的变量是N(0,1)。若分布函数形式为Φ((x−μ)/σ)，则对应的随机变量服从N(μ, σ²)。关键点在于识别分布函数中的线性变换参数，从而反推出原分布的均值μ和方差σ²。

破题关键：

• 分母对应标准差：分布函数中的分母是标准差σ，方差为σ²。
• 分子对应均值：分子中的常数项是均值μ。

已知随机变量X的分布函数为：
$F(x) = \Phi\left(\dfrac{x-1}{2}\right)$
其中Φ(x)是标准正态分布N(0,1)的分布函数。

1. 理解分布函数形式
   若随机变量Y服从N(μ, σ²)，则其标准化形式为：
   $Z = \dfrac{Y - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
   因此，Y的分布函数可表示为：
   $P(Y \leq x) = \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$

2. 对比题目中的分布函数
   题目中Φ的参数为$\dfrac{x-1}{2}$，与标准化形式对比可得：

   • 均值μ：分子中的常数项为1，对应μ=1。
   • 标准差σ：分母为2，对应σ=2，因此方差σ²=2²=4。

3. 确定X的分布
   综上，X服从均值为1、方差为4的正态分布，即：
   $X \sim N(1, 4)$