12.单选题(10分)利用克莱姆法则求得方程组}x+y-2z=-35x-2y+7z=222x-5y+4z=4的解为（）A. x=1,y=2,z=3B. x=-1,y=-2,z=-3C. x=1,y=2,z=-3D. x=-1,y=2,z=3

本题考查克莱姆法则求解线性方程组的知识。解题思路是先根据方程组写出系数行列式$D$，再分别写出$x$、$y$、$z$对应的行列式$D_x$、$D_y$、$D_z$，最后根据克莱姆法则$x = \frac{D_x}{D}$，$y = \frac{D_y}{D}$，$z = \frac{D_z}{D}$求出方程组的解。

步骤一：计算系数行列式$D$

对于方程组$\begin{cases}x+y - 2z=-3\\5x - 2y + 7z=22\\2x - 5y + 4z=4\end{cases}$，其系数行列式$D$为：
$D=\begin{vmatrix}1 & 1 & -2\\5 & -2 & 7\\2 & -5 & 4\end{vmatrix}$
根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}$，可得：
$\begin{align*}D&=1\times\begin{vmatrix}-2&7\\-5&4\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}5&7\\2&4\end{vmatrix}+(-2)\times\begin{vmatrix}5&-2\\2&-5\end{vmatrix}\\&=1\times((-2)\times4 - 7\times(-5)) - 1\times(5\times4 - 7\times2) - 2\times(5\times(-5) - (-2)\times2)\\&=1\times(-8 + 35) - 1\times(20 - 14) - 2\times(-25 + 4)\\&=1\times27 - 1\times6 - 2\times(-21)\\&=27 - 6 + 42\\&=63\end{align*}$

步骤二：计算$D_x$

$D_x$是将系数行列式$D$中$x$的系数列换为方程组的常数项得到的行列式，即：
$D_x=\begin{vmatrix}-3 & 1 & -2\\22 & -2 & 7\\4 & -5 & 4\end{vmatrix}$
同样根据三阶行列式的计算公式可得：
$\begin{align*}D_x&=-3\times\begin{vmatrix}-2&7\\-5&4\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}22&7\\4&4\end{vmatrix}+(-2)\times\begin{vmatrix}22&-2\\4&-5\end{vmatrix}\\&=-3\times((-2)\times4 - 7\times(-5)) - 1\times(22\times4 - 7\times4) - 2\times(22\times(-5) - (-2)\times4)\\&=-3\times(-8 + 35) - 1\times(88 - 28) - 2\times(-110 + 8)\\&=-3\times27 - 1\times60 - 2\times(-102)\\&=-81 - 60 + 204\\&=63\end{align*}$

步骤三：计算$D_y$

$D_y$是将系数行列式$D$中$y$的系数列换为方程组的常数项得到的行列式，即：
$D_y=\begin{vmatrix}1 & -3 & -2\\5 & 22 & 7\\2 & 4 & 4\end{vmatrix}$
根据三阶行列式的计算公式可得：
$\begin{align*}D_y&=1\times\begin{vmatrix}22&7\\4&4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}5&7\\2&4\end{vmatrix}+(-2)\times\begin{vmatrix}5&22\\2&4\end{vmatrix}\\&=1\times(22\times4 - 7\times4) + 3\times(5\times4 - 7\times2) - 2\times(5\times4 - 22\times2)\\&=1\times(88 - 28) + 3\times(20 - 14) - 2\times(20 - 44)\\&=1\times60 + 3\times6 - 2\times(-24)\\&=60 + 18 + 48\\&=126\end{align*}$

步骤四：计算$D_z$

$D_z$是将系数行列式$D$中$z$的系数列换为方程组的常数项得到的行列式，即：
$D_z=\begin{vmatrix}1 & 1 & -3\\5 & -2 & 22\\2 & -5 & 4\end{vmatrix}$
根据三阶行列式的计算公式可得：
$\begin{align*}D_z&=1\times\begin{vmatrix}-2&22\\-5&4\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}5&22\\2&4\end{vmatrix}+(-3)\times\begin{vmatrix}5&-2\\2&-5\end{vmatrix}\\&=1\times((-2)\times4 - 22\times(-5)) - 1\times(5\times4 - 22\times2) - 3\times(5\times(-5) - (-2)\times2)\\&=1\times(-8 + 110) - 1\times(20 - 44) - 3\times(-25 + 4)\\&=1\times102 - 1\times(-24) - 3\times(-21)\\&=102 + 24 + 63\\&=189\end{align*}$

步骤五：求解$x$、$y$、$z$

根据克莱姆法则$x = \frac{D_x}{D}$，$y = \frac{D_y}{D}$，$z = \frac{D_z}{D}$，可得：
$x = \frac{D_x}{D}=\frac{63}{63}=1$
$y = \frac{D_y}{D}=\frac{126}{63}=2$
$z = \frac{D_z}{D}=\frac{189}{63}=3$