题目
由来自正态总体X~N(μ,0.9^2)、容量为9的简单随机样本,得样本均值为5,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________.(u_(0.025)=1.96,u_(0.05)=1.645)
由来自正态总体X~N(μ,0.9^{2})、容量为9的简单随机样本,得样本均值为5,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________.(u_{0.025}=1.96,u_{0.05}=1.645)
题目解答
答案
答案:[4.4.412,5.588]
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
对于正态总体X~N(μ,σ^{2})，当总体方差已知时，未知参数μ的置信区间公式为：
\[ \bar{x} \pm u_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(u_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，样本均值\(\bar{x}=5\)，总体标准差\(\sigma=0.9\)，样本容量\(n=9\)，置信度为0.95，因此\(\alpha=0.05\)，\(u_{\alpha/2}=u_{0.025}=1.96\)。
代入公式得：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} \]
步骤 3：计算置信区间
计算得：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 \]
\[ 5 \pm 0.588 \]
因此，置信区间为：
\[ [5 - 0.588, 5 + 0.588] \]
\[ [4.412, 5.588] \]
对于正态总体X~N(μ,σ^{2})，当总体方差已知时，未知参数μ的置信区间公式为：
\[ \bar{x} \pm u_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(u_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，样本均值\(\bar{x}=5\)，总体标准差\(\sigma=0.9\)，样本容量\(n=9\)，置信度为0.95，因此\(\alpha=0.05\)，\(u_{\alpha/2}=u_{0.025}=1.96\)。
代入公式得：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} \]
步骤 3：计算置信区间
计算得：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 \]
\[ 5 \pm 0.588 \]
因此，置信区间为：
\[ [5 - 0.588, 5 + 0.588] \]
\[ [4.412, 5.588] \]