题目
11. .设总体 X sim N(mu,4), x_(1),x_(2), ... ,x_(16) 是来自总体的样本，样本均值 overline(x)=10.1，则 mu 的置信水平为0.95置信区间是（★）. (A) (8.14, 12.08) (B) (9.12, 11.08) (C) (9.03, 12.99) (D) (10.2, 12.2) A A. B B. C C. D D.
11. .设总体 $X \sim N(\mu,4)$, $x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{16}$ 是来自总体的样本，样本均值 $\overline{x}=10.1$，则 $\mu $的置信水平为0.95置信区间是（★）. (A) (8.14, 12.08) (B) (9.12, 11.08) (C) (9.03, 12.99) (D) (10.2, 12.2) A
A. B
B. C
C. D
D.
A. B
B. C
C. D
D.
题目解答
答案
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间，我们使用以下公式：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\overline{x}$ 是样本均值，
- $z_{\alpha/2}$ 是与置信水平相对应的z分数（对于95%的置信水平，$z_{\alpha/2} = 1.96$），
- $\sigma$ 是总体标准差，
- $n$ 是样本大小。
已知：
- $\overline{x} = 10.1$，
- $\sigma^2 = 4$（因此 $\sigma = 2$），
- $n = 16$，
- $z_{\alpha/2} = 1.96$，
我们可以将这些值代入公式：
\[
10.1 \pm 1.96 \frac{2}{\sqrt{16}}
\]
首先，计算标准误：
\[
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{4} = 0.5
\]
接下来，计算边际误差：
\[
1.96 \times 0.5 = 0.98
\]
现在，找到置信区间的下限和上限：
\[
\text{下限} = 10.1 - 0.98 = 9.12
\]
\[
\text{上限} = 10.1 + 0.98 = 11.08
\]
因此，$\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间是 $(9.12, 11.08)$。
正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间计算，需要掌握Z区间公式的应用，以及正确理解总体方差已知时的处理方法。
解题核心思路：
- 确认分布类型：由于总体方差已知且总体服从正态分布，应使用Z分布计算置信区间。
- 确定关键参数：包括样本均值$\overline{x}$、总体标准差$\sigma$、样本量$n$和临界值$z_{\alpha/2}$。
- 代入公式计算：利用公式$\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，逐步求出置信区间的上下限。
破题关键点：
- 区分Z分布与t分布：明确总体方差已知时使用Z分布，避免混淆。
- 正确计算标准误：注意$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的运算。
- 临界值的选择：95%置信水平对应$z_{\alpha/2}=1.96$。
已知条件：
- 总体$X \sim N(\mu, 4)$，即总体方差$\sigma^2=4$，总体标准差$\sigma=2$。
- 样本量$n=16$，样本均值$\overline{x}=10.1$。
- 置信水平$1-\alpha=0.95$，对应临界值$z_{\alpha/2}=1.96$。
计算步骤：
- 计算标准误：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$ - 计算边际误差：
$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 0.5 = 0.98$ - 确定置信区间：
- 下限：$\overline{x} - \text{边际误差} = 10.1 - 0.98 = 9.12$
- 上限：$\overline{x} + \text{边际误差} = 10.1 + 0.98 = 11.08$
结论：$\mu$的置信水平为0.95的置信区间为$(9.12, 11.08)$，对应选项B。