题目
求半径为a、中心角为2φ 的均匀圆弧(线密度 mu =1) 的质心.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质心的坐标系
取坐标系如图所示，圆心位于原点，圆弧位于第一象限，中心角为2φ。由对称性可知，质心的y坐标为0，即 $\overline{y}=0$。
步骤 2：计算圆弧的质量
圆弧的线密度为 $\mu = 1$，圆弧的长度为 $2\varphi a$，因此圆弧的质量为 $M = \mu \times 2\varphi a = 2\varphi a$。
步骤 3：计算质心的x坐标
质心的x坐标由公式 $x = \frac{1}{M} \int_{L} x \mu ds$ 给出，其中 $L$ 是圆弧的长度，$x$ 是圆弧上点的x坐标，$\mu$ 是线密度，$ds$ 是弧长微元。
圆弧的参数方程为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，其中 $t$ 的范围是 $-\varphi$ 到 $\varphi$。因此，$ds = a dt$。
代入公式，得到 $x = \frac{1}{2\varphi a} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \cos t \cdot a dt = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos t dt$。
计算积分，得到 $x = \frac{a}{2\varphi} [ \sin t ]_{-\varphi}^{\varphi} = \frac{a}{2\varphi} ( \sin \varphi - \sin (-\varphi) ) = \frac{a}{2\varphi} ( 2 \sin \varphi ) = \frac{a \sin \varphi}{\varphi}$。
取坐标系如图所示，圆心位于原点，圆弧位于第一象限，中心角为2φ。由对称性可知，质心的y坐标为0，即 $\overline{y}=0$。
步骤 2：计算圆弧的质量
圆弧的线密度为 $\mu = 1$，圆弧的长度为 $2\varphi a$，因此圆弧的质量为 $M = \mu \times 2\varphi a = 2\varphi a$。
步骤 3：计算质心的x坐标
质心的x坐标由公式 $x = \frac{1}{M} \int_{L} x \mu ds$ 给出，其中 $L$ 是圆弧的长度，$x$ 是圆弧上点的x坐标，$\mu$ 是线密度，$ds$ 是弧长微元。
圆弧的参数方程为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，其中 $t$ 的范围是 $-\varphi$ 到 $\varphi$。因此，$ds = a dt$。
代入公式，得到 $x = \frac{1}{2\varphi a} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \cos t \cdot a dt = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos t dt$。
计算积分，得到 $x = \frac{a}{2\varphi} [ \sin t ]_{-\varphi}^{\varphi} = \frac{a}{2\varphi} ( \sin \varphi - \sin (-\varphi) ) = \frac{a}{2\varphi} ( 2 \sin \varphi ) = \frac{a \sin \varphi}{\varphi}$。