题目
(2)设总体X的密度f(x)=}theta C^thetax^-(theta+1),&x>C0,&xleqslant C)为样本观察值，求参数theta的矩估计量和最大似然估计量.
(2)设总体X的密度$f(x)=\begin{cases}\theta C^{\theta}x^{-(\theta+1)},&x>C\\0,&x\leqslant C\end{cases}(\theta>1)$，$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$为样本观察值，求参数$\theta$的矩估计量和最大似然估计量.
题目解答
答案
**矩估计：**
计算总体均值 $E(X) = \frac{\theta C}{\theta-1}$，令其等于样本均值 $\bar{X}$，解得
$$
\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - C}.
$$
**最大似然估计：**
似然函数 $L(\theta) = \theta^n C^{n\theta} \prod x_i^{-(\theta+1)}$，取对数并求导得
$$
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + n \ln C - \sum \ln x_i = 0,
$$
解得
$$
\hat{\theta} = \frac{n}{\sum \ln \left( \frac{x_i}{C} \right)} = \frac{n}{\sum \ln x_i - n \ln C}.
$$
**答案：**
矩估计量：$\boxed{\frac{\bar{X}}{\bar{X} - C}}$
最大似然估计量：$\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln \left( \frac{x_i}{C} \right)}}$ 或 $\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln C}}$
解析
步骤 1：矩估计
计算总体均值 $E(X)$，令其等于样本均值 $\bar{X}$，解得 $\theta$ 的矩估计量。
步骤 2：最大似然估计
写出似然函数 $L(\theta)$，取对数并求导，解得 $\theta$ 的最大似然估计量。
计算总体均值 $E(X)$，令其等于样本均值 $\bar{X}$，解得 $\theta$ 的矩估计量。
步骤 2：最大似然估计
写出似然函数 $L(\theta)$，取对数并求导，解得 $\theta$ 的最大似然估计量。