题目
设有方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(2)-2(x)_(3)=0 2(x)_(1)-(x)_(2)+a(x)_(3)=0 3(x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)=0 .，下列说法不正确的是（ ）A 该方程组至少有一组解 B 该方程组一定有解 C 当 a = 1 时该方程组才有非零解 D 该方程组一定有非零解
设有方程组
，下列说法不正确的是（ ）
A 该方程组至少有一组解
B 该方程组一定有解
C 当 a = 1 时该方程组才有非零解
D 该方程组一定有非零解
题目解答
答案
答案选C
方程组，
系数矩阵
第一行的-2，-3倍分别加到第二第三行，得到
，再将第三行的-1倍加到第二行，并调换第二，第三行，得到
则矩阵的行列式为
根据性质，当a=1时，该方程组才有非零解，所以C错误。
故答案选C
解析
步骤 1：确定方程组的系数矩阵
方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{2}-2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{1}-{x}_{2}+a{x}_{3}=0\\ 3{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$的系数矩阵为
$A=\left [ \begin{matrix} 1& 2& -2\\ 2& -1& a\\ 3& 1& -1\end{matrix} \right ]$。
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
计算系数矩阵的行列式$|A|$，得到$|A|=1\times (-1)\times (-1)+2\times a\times 3+(-2)\times 2\times 1-(-2)\times (-1)\times 3-1\times a\times (-2)-2\times 2\times 1=5-5a$。
步骤 3：分析方程组的解
当$|A|=0$时，即$5-5a=0$，解得$a=1$，此时方程组有非零解。当$|A|\neq 0$时，即$a\neq 1$，方程组有唯一解，即零解。
方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{2}-2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{1}-{x}_{2}+a{x}_{3}=0\\ 3{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$的系数矩阵为
$A=\left [ \begin{matrix} 1& 2& -2\\ 2& -1& a\\ 3& 1& -1\end{matrix} \right ]$。
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
计算系数矩阵的行列式$|A|$，得到$|A|=1\times (-1)\times (-1)+2\times a\times 3+(-2)\times 2\times 1-(-2)\times (-1)\times 3-1\times a\times (-2)-2\times 2\times 1=5-5a$。
步骤 3：分析方程组的解
当$|A|=0$时，即$5-5a=0$，解得$a=1$，此时方程组有非零解。当$|A|\neq 0$时，即$a\neq 1$，方程组有唯一解，即零解。