题目
设某种砖头的抗压强度X sim N(mu, sigma^2),今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位:kg cdot cm^-2）如下: 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 求mu的置信概率为0.95的置信区间.A. (78.32,85.089)B. (60.11,80.089)C. (68.11,90.56)D. (68.11,85.089)
设某种砖头的抗压强度$X \sim N(\mu, \sigma^2)$,今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位:$kg \cdot cm^{-2}$）如下: 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 求$\mu$的置信概率为0.95的置信区间.
A. (78.32,85.089)
B. (60.11,80.089)
C. (68.11,90.56)
D. (68.11,85.089)
题目解答
答案
D. (68.11,85.089)
解析
步骤 1：计算样本均值
\[ \bar{x} = \frac{1}{20} \sum x_i = \frac{1}{20} (64 + 69 + 49 + 92 + 55 + 97 + 41 + 84 + 88 + 99 + 84 + 66 + 100 + 98 + 72 + 74 + 87 + 84 + 48 + 81) = 76.6 \]
步骤 2：计算样本标准差
\[ s = \sqrt{\frac{1}{19} \sum (x_i - \bar{x})^2} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{19} ((64-76.6)^2 + (69-76.6)^2 + ... + (81-76.6)^2)} \approx 18.14 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于 $n-1=19$ 和置信水平 0.95，查表得 $t_{0.025}(19) \approx 2.093$。
步骤 4：计算置信区间
\[ \bar{x} \pm t_{0.025}(19) \frac{s}{\sqrt{20}} \approx 76.6 \pm 2.093 \times \frac{18.14}{\sqrt{20}} \approx 76.6 \pm 8.48 \approx (68.12, 85.08) \]
\[ \bar{x} = \frac{1}{20} \sum x_i = \frac{1}{20} (64 + 69 + 49 + 92 + 55 + 97 + 41 + 84 + 88 + 99 + 84 + 66 + 100 + 98 + 72 + 74 + 87 + 84 + 48 + 81) = 76.6 \]
步骤 2：计算样本标准差
\[ s = \sqrt{\frac{1}{19} \sum (x_i - \bar{x})^2} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{19} ((64-76.6)^2 + (69-76.6)^2 + ... + (81-76.6)^2)} \approx 18.14 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于 $n-1=19$ 和置信水平 0.95，查表得 $t_{0.025}(19) \approx 2.093$。
步骤 4：计算置信区间
\[ \bar{x} \pm t_{0.025}(19) \frac{s}{\sqrt{20}} \approx 76.6 \pm 2.093 \times \frac{18.14}{\sqrt{20}} \approx 76.6 \pm 8.48 \approx (68.12, 85.08) \]