题目
练习根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.用中心极限定理求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
练习
根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.用中心极限定理求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
题目解答
答案
设 $X_i$ 为第 $i$ 只元件的寿命，均值 $E(X_i) = 100$ 小时，方差 $D(X_i) = 100^2 = 10000$ 小时^2。总和 $T = \sum_{i=1}^{16} X_i$ 的均值 $E(T) = 16 \times 100 = 1600$ 小时，方差 $D(T) = 16 \times 10000 = 160000$ 小时^2，标准差 $\sigma_T = 400$ 小时。
由中心极限定理，$T$ 近似服从 $N(1600, 400^2)$。求 $P(T > 1920)$：
\[
P(T > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8)
\]
查表得 $P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$，故：
\[
P(Z > 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119
\]
**答案：** $\boxed{0.2119}$
解析
步骤 1：确定单个元件寿命的分布参数
由于元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，我们首先确定指数分布的参数。指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，因此 $\lambda = \frac{1}{100}$。
步骤 2：计算总和的均值和方差
设 $X_i$ 为第 $i$ 只元件的寿命，均值 $E(X_i) = 100$ 小时，方差 $D(X_i) = 100^2 = 10000$ 小时^2。总和 $T = \sum_{i=1}^{16} X_i$ 的均值 $E(T) = 16 \times 100 = 1600$ 小时，方差 $D(T) = 16 \times 10000 = 160000$ 小时^2，标准差 $\sigma_T = 400$ 小时。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$T$ 近似服从 $N(1600, 400^2)$。求 $P(T > 1920)$： \[ P(T > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8) \] 查表得 $P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$，故： \[ P(Z > 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119 \]
由于元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，我们首先确定指数分布的参数。指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，因此 $\lambda = \frac{1}{100}$。
步骤 2：计算总和的均值和方差
设 $X_i$ 为第 $i$ 只元件的寿命，均值 $E(X_i) = 100$ 小时，方差 $D(X_i) = 100^2 = 10000$ 小时^2。总和 $T = \sum_{i=1}^{16} X_i$ 的均值 $E(T) = 16 \times 100 = 1600$ 小时，方差 $D(T) = 16 \times 10000 = 160000$ 小时^2，标准差 $\sigma_T = 400$ 小时。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$T$ 近似服从 $N(1600, 400^2)$。求 $P(T > 1920)$： \[ P(T > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8) \] 查表得 $P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$，故： \[ P(Z > 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119 \]