题目
3.一种燃料中的辛烷等级服从正态分布，其平均等级为98，标准差为0.8，今从一批新燃料中随机抽取25桶，算得样本的平均值为97.7，假定标准差与原来一样，问：新燃料油的辛烷平均等级是否比原燃料辛烷平均等级偏低(alpha=0.05))?
3.一种燃料中的辛烷等级服从正态分布，其平均等级为98，标准差为0.8，今从一批新燃料中随机抽取25桶，算得样本的平均值为97.7，假定标准差与原来一样，问：新燃料油的辛烷平均等级是否比原燃料辛烷平均等级偏低($\alpha=0.05)$)?
题目解答
答案
**解：**
1. **假设：**
$H_0: \mu \geq 98$（不偏低），$H_1: \mu < 98$（偏低）。
2. **检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{97.7 - 98}{0.8 / 5} = -1.875
\]
3. **临界值：**
$\alpha = 0.05$，左侧检验，$Z_{\alpha} = -1.645$。
4. **结论：**
$Z = -1.875 < -1.645$，拒绝 $H_0$。
**答案：**
\[
\boxed{\text{可以认为新燃料的辛烷平均等级比原燃料辛烷平均等级低。}}
\]
解析
步骤 1：假设检验
- 原假设 $H_0: \mu \geq 98$，即新燃料的辛烷平均等级不低于原燃料。
- 备择假设 $H_1: \mu < 98$，即新燃料的辛烷平均等级低于原燃料。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均值 $\overline{X} = 97.7$，总体标准差 $\sigma = 0.8$，样本容量 $n = 25$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{97.7 - 98}{0.8 / \sqrt{25}} = \frac{-0.3}{0.8 / 5} = \frac{-0.3}{0.16} = -1.875$。
步骤 3：确定临界值
- 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，进行左侧检验，查标准正态分布表得临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 4：做出决策
- 比较检验统计量 $Z = -1.875$ 与临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
- 因为 $Z = -1.875 < -1.645$，所以拒绝原假设 $H_0$。
- 原假设 $H_0: \mu \geq 98$，即新燃料的辛烷平均等级不低于原燃料。
- 备择假设 $H_1: \mu < 98$，即新燃料的辛烷平均等级低于原燃料。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均值 $\overline{X} = 97.7$，总体标准差 $\sigma = 0.8$，样本容量 $n = 25$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{97.7 - 98}{0.8 / \sqrt{25}} = \frac{-0.3}{0.8 / 5} = \frac{-0.3}{0.16} = -1.875$。
步骤 3：确定临界值
- 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，进行左侧检验，查标准正态分布表得临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 4：做出决策
- 比较检验统计量 $Z = -1.875$ 与临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
- 因为 $Z = -1.875 < -1.645$，所以拒绝原假设 $H_0$。