题目
某居民小区有 1000 户居民，小区物业管理者为采用一项新的车位管理系统，想了解居民是否赞成。为此，该物管采用简单随机不重复抽样组织方式抽取120户进行调查，结果由90户赞同、30户反对。在置信水平为 95%的条件下，该小区赞成采用新车位管理措施的居民户所占比重的置信区间下限是67.73%68.13%68.51%68.92%
某居民小区有 1000 户居民，小区物业管理者为采用一项新的车位管理系统，想了解居民是否赞成。为此，该物管采用简单随机不重复抽样组织方式抽取120户进行调查，结果由90户赞同、30户反对。在置信水平为 95%的条件下，该小区赞成采用新车位管理措施的居民户所占比重的置信区间下限是
- 67.73%
- 68.13%
- 68.51%
- 68.92%
题目解答
答案
解：
首先，我们需要计算样本比例p：
由于样本量 n = 120 大于 30，且样本比例 p = 0.75 不接近于 0 或 1，因此可以使用正态分布来进行置信区间估计。根据中心极限定理，当样本量 n 足够大时，样本比例 p 的抽样分布近似于正态分布，其均值为 p，方差为 p(1-p)/n。
我们再计算标准差SE：
根据正态分布的性质，我们可以计算出样本比例p的 95%置信区间：
其中，
是置信水平为 95% 的正态分布的分位数，查表可知该值为1.96。
将上述值代入公式，得到：
因此，在置信水平为 95% 的条件下，该小区赞成采用新车位管理措施的居民户所占比重的置信区间下限为 67.73%。
解析
步骤 1：计算样本比例
样本比例 p 是指样本中赞成采用新车位管理措施的居民户所占的比例。根据题目，样本中赞成的居民户数为 90 户，样本量为 120 户，因此样本比例 p 为：
$p=\dfrac {x}{n}=\dfrac {90}{120}=0.75$
步骤 2：计算标准误差
标准误差 SE 是指样本比例 p 的抽样分布的标准差。根据题目，样本量 n = 120 大于 30，且样本比例 p = 0.75 不接近于 0 或 1，因此可以使用正态分布来进行置信区间估计。根据中心极限定理，当样本量 n 足够大时，样本比例 p 的抽样分布近似于正态分布，其均值为 p，方差为 p(1-p)/n。因此，标准误差 SE 为：
$SE=\sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}=\sqrt {\dfrac {0.75(1-0.75)}{120}}=\sqrt {\dfrac {0.75\times 0.25}{120}}=\sqrt {\dfrac {0.1875}{120}}=\sqrt {0.0015625}\approx 0.0395$
步骤 3：计算置信区间下限
置信区间下限是指在置信水平为 95% 的条件下，该小区赞成采用新车位管理措施的居民户所占比重的最小值。根据正态分布的性质，我们可以计算出样本比例 p 的 95% 置信区间：
$0.75-1.96\times SE$
其中，1.96 是置信水平为 95% 的正态分布的分位数，查表可知该值为 1.96。将上述值代入公式，得到：
$0.75-1.96\times 0.0395\approx 0.75-0.07762\approx 0.67238$
样本比例 p 是指样本中赞成采用新车位管理措施的居民户所占的比例。根据题目，样本中赞成的居民户数为 90 户，样本量为 120 户，因此样本比例 p 为：
$p=\dfrac {x}{n}=\dfrac {90}{120}=0.75$
步骤 2：计算标准误差
标准误差 SE 是指样本比例 p 的抽样分布的标准差。根据题目，样本量 n = 120 大于 30，且样本比例 p = 0.75 不接近于 0 或 1，因此可以使用正态分布来进行置信区间估计。根据中心极限定理，当样本量 n 足够大时，样本比例 p 的抽样分布近似于正态分布，其均值为 p，方差为 p(1-p)/n。因此，标准误差 SE 为：
$SE=\sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}=\sqrt {\dfrac {0.75(1-0.75)}{120}}=\sqrt {\dfrac {0.75\times 0.25}{120}}=\sqrt {\dfrac {0.1875}{120}}=\sqrt {0.0015625}\approx 0.0395$
步骤 3：计算置信区间下限
置信区间下限是指在置信水平为 95% 的条件下，该小区赞成采用新车位管理措施的居民户所占比重的最小值。根据正态分布的性质，我们可以计算出样本比例 p 的 95% 置信区间：
$0.75-1.96\times SE$
其中，1.96 是置信水平为 95% 的正态分布的分位数，查表可知该值为 1.96。将上述值代入公式，得到：
$0.75-1.96\times 0.0395\approx 0.75-0.07762\approx 0.67238$