题目

3.设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是取自总体X的一个样本，X的分布函数为F(x;theta)=}0,x<1,1-x^-theta,xgeqslant1,其中theta未知，theta>1.试求theta的矩估计量和极大似然估计量.

3.设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是取自总体X的一个样本，X的分布函数为 $F(x;\theta)=\begin{cases}0,x<1,\\1-x^{-\theta},x\geqslant1,\end{cases}$ 其中$\theta$未知，$\theta>1$.试求$\theta$的矩估计量和极大似然估计量.

题目解答

答案

**矩估计量：** 计算期望值 $E(X) = \frac{\theta}{\theta - 1}$，用样本均值 $\overline{X}$ 替代，解得 \[ \theta = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}. \] **极大似然估计量：** 似然函数 $L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{-\theta - 1}$，取对数并求导，解得 \[ \theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}. \] **答案：** 矩估计量：$\boxed{\frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}}$ 极大似然估计量：$\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}}$

解析

考查要点：本题要求求参数$\theta$的矩估计量和极大似然估计量，主要考查对矩估计法和极大似然估计法的理解与应用。

解题思路：

  1. 矩估计：通过总体期望与样本均值的等式建立方程，解方程得到$\theta$的估计量。关键在于正确计算总体期望$E(X)$。
  2. 极大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，令导数为零求解$\theta$。需注意概率密度函数的表达式及对数似然函数的化简。

破题关键：

  • 概率密度函数：由分布函数$F(x;\theta)$求导得到$f(x;\theta)=\theta x^{-(\theta+1)}$（$x \geq 1$）。
  • 期望计算：利用积分$\int_{1}^{\infty} x f(x;\theta) dx$求得$E(X)=\frac{\theta}{\theta-1}$。
  • 似然函数构造：正确写出样本联合密度函数，并转化为对数形式简化计算。

矩估计量

  1. 求总体期望
    总体$X$的概率密度函数为：
    $f(x;\theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
    期望计算为：
    $E(X) = \int_{1}^{\infty} x \cdot \theta x^{-(\theta+1)} dx = \theta \int_{1}^{\infty} x^{-\theta} dx = \theta \cdot \left[ \frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1} \right]_{1}^{\infty} = \frac{\theta}{\theta-1}.$

  2. 建立矩方程
    用样本均值$\overline{X}$代替总体期望$E(X)$，得方程：
    $\overline{X} = \frac{\theta}{\theta-1}.$
    解得矩估计量：
    $\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}.$

极大似然估计量

  1. 构造似然函数
    样本的联合密度函数为：
    $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta X_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^{n} X_i \right)^{-(\theta+1)}.$

  2. 取对数并求导
    对数似然函数为：
    $\ln L(\theta) = n \ln \theta - (\theta+1) \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.$
    对$\theta$求导并令导数为零：
    $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0.$

  3. 解方程求极大似然估计量
    解得：
    $\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}.$