假如0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=hx服从正态分布N(μ,1)(1)求X的数学期望E(X记E(X为b(2)求μ的置信度为0.95的置信区间

题目考察知识和解题思路

本题主要考察正态分布的性质、随机变量函数的期望计算以及正态总体均值的置信区间求解。

（1）求$X$的数学期望$E(X)$（记为$b$）

关键分析

题目中提到“$Y = hx$服从正态分布$N(\mu,1)$”，但根据后续答案推导，推测应为$Y = \ln X$（常见对数正态分布设定），即$\ln X \sim N(\mu,1)$。因此$X = e^Y$，其中$Y \sim N(\mu,1)$（均值$\mu$，方差1）。

计算过程

随机变量$X = e^Y$的期望$E(X)$为：
$E(X) = E(e^Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^y \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - \mu)^2}{2}} dy$
通过变量替换$t = y - \mu$，则$y = t + \mu$，代入得：
$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{t + \mu} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = e^\mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2 - 2t}{2}} dt$
对指数部分配方：$-\frac{t^2 - 2t}{2} = -\frac{(t - 1)^2 - 1}{2} = -\frac{(t - 1)^2}{2} + \frac{1}{2}$，则：
$E(X) = e^\mu \cdot e^{\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t - 1)^2}{2}} dt = e^{\mu + \frac{1}{2}}$
（注：积分项为标准正态分布的概率密度积分，结果为1）

（2）求$\mu$的置信度为0.95的置信区间

关键分析

已知$Y = \ln X \sim N(\mu,1)$，样本值为$0.50,1.25,0.80,2.00$，则$\ln X$的样本值为：
$\ln 0.50 \approx -0.6931, \quad \ln 1.25 \approx 0.2231, \quad \ln 0.80 \approx -0.2231, \quad \ln 2.00 \approx 0.6931 \用样本均值$\bar{Y}$估计$\mu$，因总体方差已知（$\sigma^2=1$），故用$Z$分布构造置信区间。 ### 计算过程 1. **计算样本均值$\bar{Y}$**： \[ \bar{Y} = \frac{1}{4}(-0.6931 + 0.2231 - 0.2231 + 0.6931) = 0$
2. **确定置信区间公式\D：
对于正态总体$N(\mu,\sigma^2)$，方差已知时，$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为：
$\left( \bar{Y} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{Y} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \$ 其中$\alpha=0.05$，$z_{\alpha/2}=1.96$（标准正态分布分位数），$\sigma=1$，$n=4$。 3. **代入计算\D： \[ \left( 0 - 1.96 \cdot \frac{1}{2}, 0 + 1.96 \cdot \frac{1}{2} \right) = (-0.98, 0.98)$