24.设x1,x2,···,x16是来自N(8,4)的样本,试求下列概率:-|||-(1) (x(16)gt 10);-|||-(2) ((x)_((1))gt 5).

考查要点：本题主要考查次序统计量的概率计算，涉及最大值和最小值的分布。需要掌握独立同分布随机变量的次序统计量性质，以及如何通过标准化转换为标准正态分布求解概率。

解题核心思路：

1. 最大值概率：$P(X_{(16)} > 10)$等价于“至少有一个样本值大于10”，可转化为$1 - P(X_{(16)} \leq 10)$，即$1 - [P(X \leq 10)]^{16}$。
2. 最小值概率：$P(X_{(1)} > 5)$等价于“所有样本值均大于5”，直接计算为$[P(X > 5)]^{16}$。

破题关键点：

• 标准化转换：将原始正态变量转化为标准正态变量$Z$，利用标准正态分布表查概率。
• 次序统计量性质：最大值和最小值的概率与单个变量的累积分布函数相关联。

第（1）题：$P(X_{(16)} > 10)$

步骤1：理解最大值的分布

最大值$X_{(16)}$的分布函数为：
$P(X_{(16)} \leq x) = [P(X \leq x)]^{16}$
因此：
$P(X_{(16)} > 10) = 1 - [P(X \leq 10)]^{16}$

步骤2：计算单个变量的概率

$X \sim N(8, 4)$，标准化得：
$P(X \leq 10) = P\left(Z \leq \frac{10 - 8}{\sqrt{4}}\right) = P(Z \leq 1) = \Phi(1)$
查标准正态分布表得$\Phi(1) \approx 0.8413$。

步骤3：计算最大值概率

$P(X_{(16)} > 10) = 1 - (0.8413)^{16} \approx 1 - 0.063 = 0.9370$

第（2）题：$P(X_{(1)} > 5)$

步骤1：理解最小值的分布

最小值$X_{(1)}$的分布函数为：
$P(X_{(1)} > x) = [P(X > x)]^{16}$

步骤2：计算单个变量的概率

标准化得：
$P(X > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 8}{\sqrt{4}}\right) = P(Z > -1.5) = \Phi(1.5)$
查标准正态分布表得$\Phi(1.5) \approx 0.9332$。

步骤3：计算最小值概率

$P(X_{(1)} > 5) = (0.9332)^{16} \approx 0.3308$