题目

4.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=_____(Φ(2)=0.9772)

4.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}=_____(Φ(2)=0.9772)

题目解答

答案

将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。 求 $P\{\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\}$ 等价于求 $P\{-2 \leq Z \leq 2\}$。 利用标准正态分布函数 $\Phi(z)$，有： \[ P\{-2 \leq Z \leq 2\} = \Phi(2) - \Phi(-2) = \Phi(2) - [1 - \Phi(2)] = 2\Phi(2) - 1 \] 代入 $\Phi(2) = 0.9772$，得： \[ 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544 \] **答案：** $\boxed{0.9544}$

解析

本题考查正态分布的标准化以及标准正态分布函数的性质。解题思路是先将给定的正态分布随机变量$X$通过标准化变换转化为标准正态分布随机变量$Z$，然后利用标准正态分布函数$\varPhi(z)$的性质来计算概率。

  1. 标准化随机变量：
    已知随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布的标准化公式，令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$。
    对于$P\{\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\}$，对不等式进行变形：
    • 不等式$\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma$两边同时减去$\mu$，得到$- 2\sigma \leq X - \mu \leq 2\sigma$。
    • 再将不等式两边同时除以$\sigma$（因为$\sigma>0$，不等号方向不变），得到$\frac{- 2\sigma}{\sigma} \leq \frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{2\sigma}{\sigma}$，即$-2 \leq Z \leq 2$。
    • 所以$P\{\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\}=P\{-2 \leq Z \leq 2\}$。
  2. 利用标准正态分布函数计算概率：
    根据标准正态分布函数$\varPhi(z)$的定义，$P\{-2 \leq Z \leq 2\}=\varPhi(2)-\varPhi(-2)$。
    又因为标准正态分布函数具有性质$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-2)=1 - \varPhi(2)$。
    则$P\{-2 \leq Z \leq 2\}=\varPhi(2)-(1 - \varPhi(2))$。
    对$\varPhi(2)-(1 - \varPhi(2))$进行化简：
    $\begin{align*}\varPhi(2)-(1 - \varPhi(2))&=\varPhi(2)-1+\varPhi(2)\\&=2\varPhi(2)-1\end{align*}$
  3. 代入$\varPhi(2)$的值计算结果：
    已知$\varPhi(2)=0.9772$，将其代入$2\varPhi(2)-1$可得：
    $\begin{align*}2\times0.9772 - 1&=1.9544 - 1\\&=0.9544\end{align*}$