假设0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值．已知Y=lnX服从正态分布N(μ，1)．(1)求X的数学期望值E(X)(记E(X)为b)；(2)求μ的置信度为0.95的置信区间；(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间．

步骤 1：求X的数学期望值E(X)
已知Y=lnX服从正态分布N(μ，1)，即Y的概率密度函数为：
f(y) =
1
√(2π)
e^(-(y-μ)^2/2)
X的数学期望值E(X)可以通过对Y的概率密度函数进行积分求得：
E(X) = E(e^Y) = ∫_{-∞}^{+∞} e^y f(y) dy
= ∫_{-∞}^{+∞} e^y
1
√(2π)
e^(-(y-μ)^2/2) dy
=
1
√(2π)
∫_{-∞}^{+∞} e^(y - (y-μ)^2/2) dy
=
1
√(2π)
∫_{-∞}^{+∞} e^(μ + 1/2) e^(-(y-μ)^2/2) dy
= e^(μ + 1/2)
1
√(2π)
∫_{-∞}^{+∞} e^(-(y-μ)^2/2) dy
= e^(μ + 1/2)
1
√(2π)
√(2π) = e^(μ + 1/2)
步骤 2：求μ的置信度为0.95的置信区间
已知Y=lnX服从正态分布N(μ，1)，样本均值为：
.
Y
=
1
4
(ln0.5 + ln1.25 + ln0.8 + ln2) =
1
4
ln(0.5 * 1.25 * 0.8 * 2) =
1
4
ln1 = 0
置信度为0.95时，标准正态分布对应于α=0.05的双侧分位数等于1.96(查表可知)，
所以μ的置信度为0.95的置信区间为：
(
.
Y
- 1.96,
.
Y
+ 1.96) = (-1.96, 1.96)
步骤 3：求b的置信度为0.95的置信区间
由指数函数e^x的严格单调递增性，可得：
P{-1.96 < μ < 1.96} = P{-1.46 < μ + 1/2 < 2.46}
= P(e^{-1.46} < e^{μ + 1/2} < e^{2.46}) = P(e^{-1.46} < b < e^{2.46}) = 0.95
因此b的置信度为0.95的置信区间为：(e^{-1.46}, e^{2.46})