题目
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分在显著性水平a=0.05下是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分?
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分在显著性水平a=0.05下是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分?
题目解答
答案
解：
由题意知：
建立假设：
计算检验统计量：
做出决策：
故接受原假设，可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分
解析
步骤 1：建立假设
根据题意，我们需要检验全体考生的平均成绩是否为70分。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}$：全体考生的平均成绩为70分，即 $\mu = 70$。
- 备择假设 ${H}_{1}$：全体考生的平均成绩不为70分，即 $\mu \neq 70$。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本平均成绩 $\overline {x} = 66.5$，样本标准差 $s = 15$，样本容量 $n = 36$。由于总体标准差未知，我们使用样本标准差来估计总体标准差。因此，我们使用t检验统计量：
$$
t = \frac{\overline{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = \frac{-3.5}{15 / 6} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4
$$
步骤 3：做出决策
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度 $df = n - 1 = 35$。查t分布表，得到双侧检验的临界值 $t_{0.025,35} \approx 2.03$。由于 $|t| = 1.4 < 2.03$，我们接受原假设 ${H}_{0}$，即可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分。
根据题意，我们需要检验全体考生的平均成绩是否为70分。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}$：全体考生的平均成绩为70分，即 $\mu = 70$。
- 备择假设 ${H}_{1}$：全体考生的平均成绩不为70分，即 $\mu \neq 70$。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本平均成绩 $\overline {x} = 66.5$，样本标准差 $s = 15$，样本容量 $n = 36$。由于总体标准差未知，我们使用样本标准差来估计总体标准差。因此，我们使用t检验统计量：
$$
t = \frac{\overline{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = \frac{-3.5}{15 / 6} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4
$$
步骤 3：做出决策
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度 $df = n - 1 = 35$。查t分布表，得到双侧检验的临界值 $t_{0.025,35} \approx 2.03$。由于 $|t| = 1.4 < 2.03$，我们接受原假设 ${H}_{0}$，即可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分。