题目
14.判断题若随机变量X与Y不相关，则X与Y相互独立.A. 对B. 错
14.判断题
若随机变量X与Y不相关，则X与Y相互独立.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解不相关性和独立性的定义
- 不相关性：两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关，如果它们的协方差为零。即 $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = 0$。
- 独立性：两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，如果它们的联合概率分布是它们各自概率分布的乘积。即对于所有 $x$ 和 $y$，$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$。
步骤 2：分析不相关性和独立性的关系
- 如果两个随机变量相互独立，那么它们不相关。这是因为独立性意味着 $X$ 和 $Y$ 的联合分布可以分解为边缘分布的乘积，从而协方差为零。
- 然而，如果两个随机变量不相关，它们不一定相互独立。不相关性只意味着随机变量之间没有线性关系，但它们之间仍然可能有其他类型的依赖关系。
步骤 3：举例说明不相关但不独立的情况
- 设 $X$ 是一个在 $[-1, 1]$ 上均匀分布的随机变量，定义 $Y = X^2$。
- 计算协方差：$\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[X^3] - E[X]E[X^2]$。
- 由于 $X$ 在 $[-1, 1]$ 上对称分布，$E[X] = 0$ 且 $E[X^3] = 0$。因此，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。
- 所以，$X$ 和 $Y$ 不相关。然而，$Y$ 完全由 $X$ 确定，所以 $X$ 和 $Y$ 不是独立的。
- 不相关性：两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关，如果它们的协方差为零。即 $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = 0$。
- 独立性：两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，如果它们的联合概率分布是它们各自概率分布的乘积。即对于所有 $x$ 和 $y$，$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$。
步骤 2：分析不相关性和独立性的关系
- 如果两个随机变量相互独立，那么它们不相关。这是因为独立性意味着 $X$ 和 $Y$ 的联合分布可以分解为边缘分布的乘积，从而协方差为零。
- 然而，如果两个随机变量不相关，它们不一定相互独立。不相关性只意味着随机变量之间没有线性关系，但它们之间仍然可能有其他类型的依赖关系。
步骤 3：举例说明不相关但不独立的情况
- 设 $X$ 是一个在 $[-1, 1]$ 上均匀分布的随机变量，定义 $Y = X^2$。
- 计算协方差：$\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[X^3] - E[X]E[X^2]$。
- 由于 $X$ 在 $[-1, 1]$ 上对称分布，$E[X] = 0$ 且 $E[X^3] = 0$。因此，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。
- 所以，$X$ 和 $Y$ 不相关。然而，$Y$ 完全由 $X$ 确定，所以 $X$ 和 $Y$ 不是独立的。