题目
两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？附：标准正态分布N0，1的分布函数Φ（x）的某些数值表x1.962.062.172.332.38Φ（x）0.9750.980.9850.990.995
两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？附：标准正态分布N0，1的分布函数Φ（x）的某些数值表x1.962.062.172.332.38Φ（x）0.9750.980.9850.990.995
题目解答
答案
设甲电影院应设N个座位才符合要求．设1000名观众中有X名选择甲电影院，则X～B1000，12．….1分由题意，P{X≤N}≥0.99．而E(X)=1000×12=500，D(X)=1000×12×12=250．….2分所以，P{X≤N}=P{X-E(X)D(X)≤N-E(X)D(X)}=P{X-500250≤N-500250}≈Φ(N-500250)≥0.99….3分查表得 N-500250≥2.33，所以有 N≥500+2.33×250=536.84．所以，应至少设537个座位，才符合要求．….2分．
解析
步骤 1：定义随机变量
设1000名观众中有X名选择甲电影院，则X服从二项分布B(1000, 1/2)。
步骤 2：计算期望和方差
由于X服从二项分布B(1000, 1/2)，则期望E(X) = 1000 * 1/2 = 500，方差D(X) = 1000 * 1/2 * 1/2 = 250。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，X近似服从正态分布N(500, 250)。
步骤 4：计算概率
设甲电影院应设N个座位才符合要求。由题意，P{X≤N}≥0.99。即P{X-E(X)≤N-E(X)}≥0.99，即P{X-500≤N-500}≥0.99。将X-500标准化，得到P{(X-500)/√250≤(N-500)/√250}≥0.99。查标准正态分布表，得到(N-500)/√250≥2.33，即N≥500+2.33*√250=536.84。
步骤 5：确定座位数
因此，甲电影院应至少设537个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%。
设1000名观众中有X名选择甲电影院，则X服从二项分布B(1000, 1/2)。
步骤 2：计算期望和方差
由于X服从二项分布B(1000, 1/2)，则期望E(X) = 1000 * 1/2 = 500，方差D(X) = 1000 * 1/2 * 1/2 = 250。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，X近似服从正态分布N(500, 250)。
步骤 4：计算概率
设甲电影院应设N个座位才符合要求。由题意，P{X≤N}≥0.99。即P{X-E(X)≤N-E(X)}≥0.99，即P{X-500≤N-500}≥0.99。将X-500标准化，得到P{(X-500)/√250≤(N-500)/√250}≥0.99。查标准正态分布表，得到(N-500)/√250≥2.33，即N≥500+2.33*√250=536.84。
步骤 5：确定座位数
因此，甲电影院应至少设537个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%。