设 A, B, C 是三个相互独立的随机事件，且 0 < P(C) < 1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）。A. (overline(A) cup B) 与 CB. (overline(A)C) 与 overline(C)C. (overline(A-B)) 与 CD. (overline(A) overline(B)) 与 overline(C)

我们来逐步分析这道题。

题目给出：
设 $ A, B, C $ 是三个相互独立的随机事件，且 $ 0 < P(C) < 1 $。
我们要从四个选项中找出不相互独立的一对事件。

一、理解“相互独立”的含义

三个事件 $ A, B, C $ 相互独立，意味着满足以下所有条件：

1. $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $
2. $ P(A \cap C) = P(A)P(C) $
3. $ P(B \cap C) = P(B)P(C) $
4. $ P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) $

这是“相互独立”的完整定义，比“两两独立”更强。

我们要判断四个选项中哪一对事件不相互独立，即哪一对事件不满足 $ P(E \cap F) = P(E)P(F) $。

选项 A：$ \overline{A} \cup B $ 与 $ C $

我们要判断：
$P\left( (\overline{A} \cup B) \cap C \right) \overset{?}{=} P(\overline{A} \cup B) \cdot P(C)$

我们尝试计算左边：
$(\overline{A} \cup B) \cap C = (\overline{A} \cap C) \cup (B \cap C)$
但注意这不是不相交并，所以不能直接拆开。不过我们可以利用概率的性质。

由于 $ A, B, C $ 相互独立，我们可以推出：

• $ \overline{A} $ 与 $ C $ 独立（因为 $ A $ 与 $ C $ 独立，补事件也独立）
• $ B $ 与 $ C $ 独立
• 并且 $ \overline{A} \cup B $ 是由 $ A, B $ 构成的事件，而 $ C $ 与 $ A, B $ 都独立，且三者相互独立，所以可以推出 $ \overline{A} \cup B $ 与 $ C $ 独立。

更严谨地说：
由于 $ C $ 与 $ A, B $ 都独立，且三者相互独立，那么 $ C $ 与任何由 $ A, B $ 生成的事件（如布尔组合）都独立。

而 $ \overline{A} \cup B $ 是由 $ A, B $ 构成的事件，因此与 $ C $ 独立。

✅ 所以 A 是独立的。

选项 B：$ \overline{A}C $ 与 $ \overline{C} $

我们要判断：
$P\left( (\overline{A}C) \cap \overline{C} \right) \overset{?}{=} P(\overline{A}C) \cdot P(\overline{C})$

先看左边：
$(\overline{A} \cap C) \cap \overline{C} = \overline{A} \cap (C \cap \overline{C}) = \overline{A} \cap \emptyset = \emptyset$
所以：
$P\left( (\overline{A}C) \cap \overline{C} \right) = P(\emptyset) = 0$

右边：
$P(\overline{A}C) \cdot P(\overline{C}) = P(\overline{A})P(C) \cdot P(\overline{C})$
因为 $ \overline{A} $ 与 $ C $ 独立（由 $ A $ 与 $ C $ 独立推出）

而题目给出 $ 0 < P(C) < 1 $，所以 $ P(C) > 0 $，$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) > 0 $，且 $ P(\overline{A}) \geq 0 $，若 $ P(\overline{A}) > 0 $，则右边大于 0。

例如，假设 $ P(A) = 0.5 $，则 $ P(\overline{A}) = 0.5 $，$ P(C) = 0.5 $，$ P(\overline{C}) = 0.5 $

右边 = $ 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 > 0 $

而左边是 0

所以：
$0 = P\left( (\overline{A}C) \cap \overline{C} \right) \ne P(\overline{A}C)P(\overline{C}) > 0$

因此，不独立。

⚠️ 所以 B 是不相互独立的。

但我们还要检查其他选项，确保只有一个正确答案。

选项 C：$ \overline{A - B} $ 与 $ C $

先理解 $ A - B = A \cap \overline{B} $，所以：
$\overline{A - B} = \overline{A \cap \overline{B}} = \overline{A} \cup B \quad \text{（德摩根律）}$

所以 $ \overline{A - B} = \overline{A} \cup B $

这和选项 A 是一样的！

所以 $ \overline{A - B} $ 与 $ C $ 就是 $ \overline{A} \cup B $ 与 $ C $，和 A 完全一样。

而我们在 A 中已经分析过，这个事件与 $ C $ 独立。

✅ 所以 C 是独立的。

选项 D：$ \overline{A}\,\overline{B} $ 与 $ \overline{C} $

即 $ \overline{A} \cap \overline{B} $ 与 $ \overline{C} $

我们要判断：
$P\left( (\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C} \right) \overset{?}{=} P(\overline{A} \cap \overline{B}) \cdot P(\overline{C})$

左边：
$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P( \text{非}A, \text{非}B, \text{非}C )$

由于 $ A, B, C $ 相互独立，可以推出 $ \overline{A}, \overline{B}, \overline{C} $ 也相互独立。

因为独立事件的补也独立。

所以：
$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$

而：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) \quad \text{（因为 } A,B \text{ 独立）}$

所以右边：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) \cdot P(\overline{C}) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$

左右相等。

✅ 所以 D 是独立的。

总结

• A：独立 ✅
• B：不独立 ❌
• C：独立 ✅
• D：独立 ✅

正确答案是：B

\boxed{\text{B}}