【2013数一】计算int_(0)^1(f(x))/(sqrt(x))dx，其中f(x)=int_(1)^x(ln(1+t))/(t)dt.
题目解答
答案
设 $ f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1+t)}{t} \, dt $，则 $ f'(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} $。
使用分部积分法，令 $ u = f(x) $，$ dv = \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx $，则 $ du = f'(x) \, dx $，$ v = 2\sqrt{x} $。
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \left[ 2\sqrt{x} f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} f'(x) \, dx$
由于 $ f(1) = 0 $，第一项为0，剩余：
$-2 \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}} \, dx$
令 $ x = t^2 $，则 $ dx = 2t \, dt $，积分变为：
$-2 \int_{0}^{1} \ln(1+t^2) \, 2t \, \frac{dt}{t} = -4 \int_{0}^{1} \ln(1+t^2) \, dt$
分部积分 $ \int_{0}^{1} \ln(1+t^2) \, dt $，得：
$\int_{0}^{1} \ln(1+t^2) \, dt = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$
因此，原积分值为：
$-4 \left( \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \right) = 8 - 2\pi - 4\ln 2$
答案： $\boxed{8 - 2\pi - 4\ln 2}$
解析
本题主要考查定积分的计算，涉及变上限积分求导、分部积分法以及换元积分法。解题的关键思路是先利用分部积分法对原积分进行化简，再通过换元法将积分形式进一步转化，最后再次使用分部积分法计算化简后的积分。
- 求$f(x)$的导数：
已知$f(x)=\int_{1}^{x}\frac{\ln(1+t)}{t}dt$，根据变上限积分求导公式，若$F(x)=\int_{a}^{x}g(t)dt$，则$F^\prime(x)=g(x)$，可得$f^\prime(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$。 - 使用分部积分法计算$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx$：
设$u = f(x)$，$dv = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$。- 对$u$求导：$du = f^\prime(x)dx$。
- 对$dv$积分：$v = \int\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$。
根据分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，可得：
$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx = [2\sqrt{x}f(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}2\sqrt{x}f^\prime(x)dx$
因为$f(1)=\int_{1}^{1}\frac{\ln(1+t)}{t}dt = 0$，所以$[2\sqrt{x}f(x)]_{0}^{1}=2\sqrt{1}f(1)-2\sqrt{0}f(0)=0$，则原积分化简为：
$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx = - \int_{0}^{1}2\sqrt{x}f^\prime(x)dx=-2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}dx$
- 使用换元法计算$-2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}dx$：
令$x = t^2$，则$dx = 2tdt$。
当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 1$时，$t = 1$。
将$x = t^2$和$dx = 2tdt$代入$-2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}dx$可得：
$-2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t^2)}{\sqrt{t^2}}\cdot 2tdt=-2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t^2)}{t}\cdot 2tdt=-4\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt$ - 使用分部积分法计算$\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt$：
设$u = \ln(1 + t^2)$，$dv = dt$。- 对$u$求导：$du = \frac{2t}{1 + t^2}dt$。
- 对$dv$积分：$v = t$。
根据分部积分公式可得：
$\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt = [t\ln(1 + t^2)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}t\cdot\frac{2t}{1 + t^2}dt$ - 计算$[t\ln(1 + t^2)]_{0}^{1}$：
$[t\ln(1 + t^2)]_{0}^{1}=1\times\ln(1 + 1^2)-0\times\ln(1 + 0^2)=\ln 2$ - 计算$\int_{0}^{1}t\cdot\frac{2t}{1 + t^2}dt$：
$\int_{0}^{1}t\cdot\frac{2t}{1 + t^2}dt = 2\int_{0}^{1}\frac{t^2}{1 + t^2}dt = 2\int_{0}^{1}\frac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2}dt = 2\int_{0}^{1}(1 - \frac{1}{1 + t^2})dt$
$= 2\left([t]_{0}^{1} - [\arctan t]_{0}^{1}\right)=2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right)=2 - \frac{\pi}{2}$
所以$\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt = \ln 2 - (2 - \frac{\pi}{2}) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$。
- 计算原积分的值：
将$\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$代入$-4\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt$可得：
$-4\int_{0}^{1}\ln(1+t^2)dt = -4\left(\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}\right)= 8 - 2\pi - 4\ln 2$