题目

P50 例1.1 设f(x+(1)/(x))=(x+x^3)/(1+x^4),则当xgeqslant 2时，f(x)=_____.

P50 例1.1 设$f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}$,则当$x\geqslant 2$时，f(x)=_____.

题目解答

答案

设 $ t = x + \frac{1}{x} $，则 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 $。
原函数可化为：
$f(t) = \frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{x(1 + x^2)}{1 + x^4} = \frac{\frac{1}{x} + x}{\frac{1}{x^2} + x^2} = \frac{t}{t^2 - 2}$
当 $ x \geq 2 $ 时，$ t = x + \frac{1}{x} \geq \frac{5}{2} $。
因此，$ f(x) = \frac{x}{x^2 - 2} $（其中 $ x \geq \frac{5}{2} $）。

答案：
$\boxed{\frac{x}{x^2 - 2}}$

解析

本题考查函数解析式的求解，解题的关键思路是通过换元法，将函数$f(x+\frac{1}{x})$中的$x+\frac{1}{x}$用一个新变量$t$表示，然后将原函数表达式转化为关于$t$的表达式，最后再将$t$换回$x$，并根据$x$的取值范围确定$f(x)$中$x$的取值范围。

  1. 换元：
    设$t = x + \frac{1}{x}$。
    对$t = x + \frac{1}{x}$两边同时平方可得$t^{2}=(x + \frac{1}{x})^{2}$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开得$t^{2}=x^{2}+2\times x\times\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$，移项可得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$。
  2. 化简原函数：
    已知$f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}$，对其进行变形可得：
    $f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}=\frac{x(1 + x^{2})}{1 + x^{4}}$
    分子分母同时除以$x^{2}$，得到$f(x+\frac{1}{x})=\frac{\frac{x}{x^{2}}(1 + x^{2})}{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}}=\frac{\frac{1}{x} + x}{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}}$。
    将$t = x + \frac{1}{x}$和$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$代入上式，可得$f(t)=\frac{t}{t^{2} - 2}$。
  3. 确定$t$的取值范围：
    已知$x\geqslant 2$，对函数$y = x + \frac{1}{x}$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$y^\prime = 1 - \frac{1}{x^{2}}$。
    当$x\geqslant 2$时，$x^{2}\geqslant 4$，则$\frac{1}{x^{2}}\leqslant\frac{1}{4}$，所以$y^\prime = 1 - \frac{1}{x^{2}}\gt 0$，这说明函数$y = x + \frac{1}{x}$在$[2, +\infty)$上单调递增。
    那么当$x = 2$时，$y$取得最小值，$y_{min}=2 + \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，即$t = x + \frac{1}{x} \geqslant \frac{5}{2}$。
  4. 得到$f(x)$的表达式：
    因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f(x)=\frac{x}{x^{2} - 2}$（其中$x \geqslant \frac{5}{2}$）。