题目

【例1.58】(第十三届全国初赛题,2021)设x_(1)=2021,x_(n)^2-2(x_(n)+1)x_(n+1)+2021=0(ngeqslant1).证明数列x_{n)}收敛，并求极限lim_(ntoinfty)x_(n).

【例1.58】(第十三届全国初赛题,2021)设$x_{1}=2021,x_{n}^{2}-2(x_{n}+1)x_{n+1}+2021=0(n\geqslant1).$证明数列$\{x_{n}\}$收敛，并求极限$\lim_{n\to\infty}x_{n}.$

题目解答

答案

令 $ y_n = x_n + 1 $，则 $ y_1 = 2022 $，且递推式变为：
$y_{n+1} = \frac{y_n}{2} + \frac{1011}{y_n}.$
定义函数 $ f(y) = \frac{y}{2} + \frac{1011}{y} $，求导得：
$f'(y) = \frac{1}{2} - \frac{1011}{y^2}, \quad f''(y) = \frac{2022}{y^3} > 0 \quad (y > 0).$
$f(y)$ 的最小值点为 $ y = \sqrt{2022} $，且 $ f(\sqrt{2022}) = \sqrt{2022} $。
由 $ y_1 = 2022 > \sqrt{2022} $，知 $ \{y_n\} $ 单调递减且有下界 $ \sqrt{2022} $，故收敛。
设 $ \lim y_n = L $，则 $ L = f(L) $，解得 $ L = \sqrt{2022} $。
因此，$ \lim x_n = \lim (y_n - 1) = \sqrt{2022} - 1 $。

答案： $\boxed{\sqrt{2022} - 1}$

解析

考查要点：本题主要考查递推数列的收敛性证明及极限求解，涉及变量替换、函数单调性分析、不动点定理的应用。

解题核心思路：

  1. 变量替换：通过引入新变量$y_n = x_n + 1$，将原递推式转化为更易分析的形式。
  2. 函数性质分析：将递推关系视为函数$f(y) = \frac{y}{2} + \frac{1011}{y}$，通过求导确定其单调性、极值点及凹凸性。
  3. 数列性质证明：利用数学归纳法证明数列$\{y_n\}$单调递减且有下界，结合单调有界定理证明收敛。
  4. 极限求解：设极限为$L$，通过解方程$L = f(L)$得到结果。

破题关键点：

  • 变量替换简化递推式，将复杂关系转化为标准迭代形式。
  • 分析函数$f(y)$的最小值点，确定数列的下界。
  • 结合单调性和有界性，应用收敛定理。

变量替换与递推式变形

令$y_n = x_n + 1$，则$x_n = y_n - 1$，代入原递推式：
$(y_n - 1)^2 - 2y_n x_{n+1} + 2021 = 0.$
进一步整理得：
$y_{n+1} = \frac{y_n}{2} + \frac{1011}{y_n}.$

函数性质分析

定义函数$f(y) = \frac{y}{2} + \frac{1011}{y}$，求导得：
$f'(y) = \frac{1}{2} - \frac{1011}{y^2}, \quad f''(y) = \frac{2022}{y^3} > 0 \quad (y > 0).$
二阶导数为正说明$f(y)$在$y > 0$时为凸函数，且在$y = \sqrt{2022}$处取得最小值$f(\sqrt{2022}) = \sqrt{2022}$。

数列收敛性证明

  1. 初始条件：$y_1 = 2022 > \sqrt{2022}$。
  2. 单调性：当$y_n > \sqrt{2022}$时，$f'(y_n) > 0$，故$y_{n+1} = f(y_n) < y_n$，即$\{y_n\}$单调递减。
  3. 有界性：由$f(y) \geq \sqrt{2022}$可知$\{y_n\}$下界为$\sqrt{2022}$。
  4. 收敛性：单调递减且有下界，故$\{y_n\}$收敛。

极限求解

设$\lim\limits_{n \to \infty} y_n = L$，则$L = f(L)$，解得$L = \sqrt{2022}$。因此：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} xn = \lim\limits{n \to \infty} (y_n - 1) = \sqrt{2022} - 1.



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