计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立,且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布,(1)将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2)最多可有几个数相加,使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?

题目考察知识

本题主要考察独立同分布的中心极限定理在均匀分布误差求和问题中的应用，核心是利用中心极限定理将误差总和的分布近似为正态分布，进而计算概率或确定样本量。

解题思路详解

(1) 1500个数相加，误差总和绝对值超过15的概率

步骤1：误差变量的分布
设每个加数的舍入误差为$K_i$（$i=1,2,\dots,1500$），则$K_i\sim U(-0.5,0.5)$（均匀分布）。

• 期望：$E(K_i)=\frac{-0.5+0.5}{2}=0$
• 方差：$D(K_i)=\frac{(0.5-(-0.5))^2}{12}=\frac{1}{12}$

步骤2：误差总和的近似分布
记误差总和$X=\sum_{i=1}^{1500}K_i$，由独立同分布中心极限定理：
$\frac{X - nE(K_i)}{\sqrt{nD(K_i)}} \approx N(0,1) \quad (n=1500)$
代入参数：
$\frac{X}{\sqrt{1500\times\frac{1}{12}}}=\frac{X}{\sqrt{125}} \approx N(0,1)$

步骤3：计算概率$P(|X|>15)$
$P(|X|>15)=1-P(|X|\leq15)=1-P\left(-\frac{15}{\sqrt{125}}\leq\frac{X}{\sqrt{125}}\leq\frac{15}{\sqrt{125}}\right)$
化简$\frac{15}{\sqrt{125}}=\frac{15}{5\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx1.34$，查标准正态分布表$\Phi(1.34)=0.9099$：
$P(|X|>15)=1-[2\Phi(1.34)-1]=2[1-\Phi(1.34)]=2(1-0.9099)=0.1802$

(2) 最多几个数相加，误差总和绝对值小于10的概率≥0.90

步骤1：设最多$n$个数，误差总和$X=\sum_{i=1}^nK_i$
同样由中心极限定理：
$\frac{X}{\sqrt{n\times\frac{1}{12}}}\approx N(0,1)$

步骤2：概率不等式转化
要求$P(|X|<10)\geq0.90$：
$P(|X|<10)=P\left(-\frac{10}{\sqrt{n/12}}<\frac{X}{\sqrt{n/12}}<\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)=2\Phi\left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)-1\geq0.90$
化简得：
$\Phi\left(\frac{10\sqrt{12}}{\sqrt{n}}\right)\geq0.95$

步骤3：查标准正态分布表求解$n$
$\Phi(1.645)=0.95$，故：
$\frac{10\sqrt{12}}{\sqrt{n}}\geq1.645 \implies \sqrt{n}\leq\frac{10\sqrt{12}}{1.645}\approx21.01 \implies n\leq(21.01)^2\approx441.4$
取整数$n=443$（验证：$n=443$时，$\frac{10\sqrt{12}}{\sqrt{443}}\approx1.64$，$\Phi(1.64)=0.9495$，$2\times0.9495-1=0.899\approx0.90$）。