21.已知随机变量X1 ,X2,X3相互独立,且 _(1)sim U(0,6), _(2)sim N(1,3), _(3)sim EXP(3) 求Y-|||-=(x)_(1)-2(x)_(2)+3(x)_(3) 的数学期望、方差和标准差。
题目解答
答案
解析
本题主要考察随机变量线性组合的数学期望和方差的计算，需先明确各随机变量的分布类型及对应数字特征，再利用数字特征的性质求解。
步骤1：确定各随机变量的数学期望和方差
已知三个随机变量相互独立：
-
$X_1 \sim U(0,6)$（均匀分布）：
均匀分布$U(a,b)$的数学期望$E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。
代入$a=0,b=6$：
$E(X_1)=\frac{0+6}{2}=3$，$D(X_1)=\frac{(6-0)^2}{12}=\frac{36}{12}=3$。 -
$X_2 \sim N(1,3)$（正态分布）：
正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的数学期望$E(X)=\mu$，方差$D(X)=\sigma^2$。
代入$\mu=1,\sigma^2=3$：
$E(X_2)=1$，$D(X_2)=3$。 -
$X_3 \sim Exp(3)$（指数分布）：
指数分布$Exp(\lambda)$的数学期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。
代入$\lambda=3$：
$E(X_3)=\frac{1}{3}$，$D(X_3)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
步骤2：计算$Y=X_1-2X_2+3X_3$的数学期望
根据数学期望的线性性质：$E(aX+bY+cZ)=aE(X)+bE(Y)+cE(Z)$，与独立性无关。
$\begin{align*} E(Y)&=E(X_1)-2E(X_2)+3E(X_3)\\ &=3 - 2\times1 + 3\times\frac{1}{3}\\ &=3 - 2 + 1\\ &=2 \end{align*}$
步骤3：计算$Y$的方差
因变量相互独立，方差性质：$D(aX+bY+cZ)=a^2D(X)+b^2D(Y)+c^2D(Z)$。
$\begin{align*} D(Y)&=D(X_1)+(-2)^2D(X_2)+3^2D(X_3)\\ &=3 + 4\times3 + 9\times\frac{1}{9}\\ &=3 + 12 + 1\\ &=16 \end{align*}$
步骤4：计算$Y$的标准差
标准差为方差的平方根：
$\sigma(Y)=\sqrt{D(Y)}=\sqrt{16}=4$